I trekant PQR er vinkel Q=60 grader , QR=4 , og PR=a.
For hvilke verdier av a er det 0 (altså ingen), 1 og 2 trekanter som svarer til beskrivelsen?
Håper på svar!!
Et spørsmål
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Lurer på en oppgave. (Oppgaven står i Sinus 2MX grunnboka, oppg. 2.63 under kapittelet trigonometri.)
I trekant PQR er vinkel Q=60 grader , QR=4 , og PR=a.
For hvilke verdier av a er det 0 (altså ingen), 1 og 2 trekanter som svarer til beskrivelsen?
Håper på svar!!
I trekant PQR er vinkel Q=60 grader , QR=4 , og PR=a.
For hvilke verdier av a er det 0 (altså ingen), 1 og 2 trekanter som svarer til beskrivelsen?
Håper på svar!!
Jeg har ikke løst oppgava. Men bare sett kjapt over den.
Ved å bruke sinussetningen:
(sin P)/ 4 =(sin60[sup]o[/sup])/ a , så finner man ut at a er
funksjon av P, a(P):
a(P) = (2 [symbol:rot] 3 )/(sin p)
For teoretiske: 0[sup]o[/sup] < P < 119[sup]o[/sup]
(Siden P + Q + R = 180[sup]o[/sup], er P < 120[sup]o[/sup])
Så kan jo a utregnes, og a er omvendt proporsjonal med P, mellom
0[sup]o[/sup] < P < 90[sup]o[/sup][sup][/sup].
Når 90[sup]o[/sup]< P < 119[sup]o[/sup] er a proporsjonal med P.
Videre kan a sine ulike verdier sjekkes med cosinussetningen mhp a:
PQ=r
a[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup] + 4[sup]2[/sup] - 2*r*4*cos60[sup]o[/sup]
a[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup] + 16 - 4*r (I)
i) a=0 gir iallfall ingen trekant.
ii)For 4 < a < 200 gir 1 trekant, da kan de ulike a-verdiene settes inn i lik. (I) og r utregnes.
Generelt vil a være proporsjonal med r i dette intervallet.
Men jeg har ikke finregnet på de ulike kombinasjonene med a og r-verdier, samt vinkelene P og R.
Et sted i intervallet medfører a 2 trekanter? Sikkert smartere måter å regne/resonnere ut dette på...
Ved å bruke sinussetningen:
(sin P)/ 4 =(sin60[sup]o[/sup])/ a , så finner man ut at a er
funksjon av P, a(P):
a(P) = (2 [symbol:rot] 3 )/(sin p)
For teoretiske: 0[sup]o[/sup] < P < 119[sup]o[/sup]
(Siden P + Q + R = 180[sup]o[/sup], er P < 120[sup]o[/sup])
Så kan jo a utregnes, og a er omvendt proporsjonal med P, mellom
0[sup]o[/sup] < P < 90[sup]o[/sup][sup][/sup].
Når 90[sup]o[/sup]< P < 119[sup]o[/sup] er a proporsjonal med P.
Videre kan a sine ulike verdier sjekkes med cosinussetningen mhp a:
PQ=r
a[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup] + 4[sup]2[/sup] - 2*r*4*cos60[sup]o[/sup]
a[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup] + 16 - 4*r (I)
i) a=0 gir iallfall ingen trekant.
ii)For 4 < a < 200 gir 1 trekant, da kan de ulike a-verdiene settes inn i lik. (I) og r utregnes.
Generelt vil a være proporsjonal med r i dette intervallet.
Men jeg har ikke finregnet på de ulike kombinasjonene med a og r-verdier, samt vinkelene P og R.
Et sted i intervallet medfører a 2 trekanter? Sikkert smartere måter å regne/resonnere ut dette på...
Jeg er med på at hvis a<3,46 gir det ingen trekant.
Fasiten sier som følger:
a<3,46 - ingen trekant
a=3,46 - 1 trekant
3,46<a<4 - 2 trekanter
a større eller lik 4 - 1 trekant
Jeg er fullt med på den første. Men hvordan du beviser de tre neste fasitsvarene lurer jeg fortsatt på.
Fasiten sier som følger:
a<3,46 - ingen trekant
a=3,46 - 1 trekant
3,46<a<4 - 2 trekanter
a større eller lik 4 - 1 trekant
Jeg er fullt med på den første. Men hvordan du beviser de tre neste fasitsvarene lurer jeg fortsatt på.
Likning (I) fra forrige svar:
a[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup] - 4*r + 16 (I)
(i)
Studer lik. (I) og sett inn for a = 0:
a[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup] - 4*r + 16 = 0,
medfører ingen løsning på r og ingen trekant.
a=2: a[sup]2[/sup] = 4: r[sup]2[/sup] - 4*r + 12 = 0, ingen løsning på r og ingen trekant.
etc
(ii)
a= 2 [symbol:rot] 3 [symbol:tilnaermet] 3.46:
a[sup]2[/sup] = 12: r[sup]2[/sup] - 4*r + 4 = 0 , gir 1 løsning på r og dermed 1 trekant.
(iii)
For f. eks a = 3.6: a[sup]2[/sup] [symbol:tilnaermet] 13: r[sup]2[/sup] - 4*r + 3.04 = 0,
gir 2 løsninger og dermed 2 trekanter.
(iv)
a = 4: Settes inn i lik. (I):
r[sup]2[/sup] - 4*r = 0,
gir en løsning, for r [symbol:ikke_lik] 0. r = 4. Og altså 1 trekant.
F. eks. a = 5: Lik. (I) gir: r[sup]2[/sup] - 4*r - 9 = 0,
gir 2 løsninger på r. Men for r > 0 medfører dette 1 løsning og
1 trekant.
Sjekk med intervallene du oppga, og du ser det stemmer. Har litt dårlig tid, men sammenlign og studer.
a[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup] - 4*r + 16 (I)
(i)
Studer lik. (I) og sett inn for a = 0:
a[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup] - 4*r + 16 = 0,
medfører ingen løsning på r og ingen trekant.
a=2: a[sup]2[/sup] = 4: r[sup]2[/sup] - 4*r + 12 = 0, ingen løsning på r og ingen trekant.
etc
(ii)
a= 2 [symbol:rot] 3 [symbol:tilnaermet] 3.46:
a[sup]2[/sup] = 12: r[sup]2[/sup] - 4*r + 4 = 0 , gir 1 løsning på r og dermed 1 trekant.
(iii)
For f. eks a = 3.6: a[sup]2[/sup] [symbol:tilnaermet] 13: r[sup]2[/sup] - 4*r + 3.04 = 0,
gir 2 løsninger og dermed 2 trekanter.
(iv)
a = 4: Settes inn i lik. (I):
r[sup]2[/sup] - 4*r = 0,
gir en løsning, for r [symbol:ikke_lik] 0. r = 4. Og altså 1 trekant.
F. eks. a = 5: Lik. (I) gir: r[sup]2[/sup] - 4*r - 9 = 0,
gir 2 løsninger på r. Men for r > 0 medfører dette 1 løsning og
1 trekant.
Sjekk med intervallene du oppga, og du ser det stemmer. Har litt dårlig tid, men sammenlign og studer.