Implisitt derivasjon

[Minnie]

Kan noen forklare meg _grundig_ hva dette er? =)

Feks hvis vi skal derivere implisitt ligningen xy^3 + 2xy - x^2 = 2 blir dette 1 * y^3 + x * 3y^2 + 2y + 2xy - 2x = 0 som etter noe mellomregning blir y' = (2x - 2y - y^3)/(3xy^2 + 2x)

Jeg skjønner ikke logikken her. Hvordan kan xy^3 + 2xy - x^2 = 2 bli 1 * y^3 + x * 3y^2 + 2y + 2xy - 2x = 0?

[Solar Plexsus]

Dersom du skal anvende implisitt derivasjon på identiteten

[tex](1) \;\; xy^3 \:+\: 2xy \:-\: x^2 \;=\; 2,[/tex]

må du huske at y er en funksjon av x. Følgelig må du (bl.a.) bruke kjerneregelen i den implisitte derivasjonen av (1). Den deriverte mhp. x av høyre side i (1) blir (2)' = 0, mens derivasjon av venstre side av (1) mhp. x gir

[tex](x)^{\prime}y^3 \:+\: x(y^3)^{\prime} \:+\: 2(x)^{\prime}y \:+\: 2xy^{\prime} \:-\: (x^2)^{\prime}[/tex]

[tex]=\; y^3 \:+\: x(3y^2 y^{\prime}) \:+\: 2y \:+\: 2xy^{\prime} \:-\: 2x[/tex]

[tex]=\; (3xy^2 \:+\: 2x)y^{\prime} \:+\: y^3 \:+\: 2y \:-\: 2x.[/tex]

Ergo blir

[tex]y^{\prime} \;=\; \frac{2x \:-\: 2y \:-\: y^3}{3xy^2 \:+\: 2x} \, .[/tex]

[Minnie]

Henger nesten med nå =) Men hvordan blir x(y^3)' lik x(3y^2y')? hvorfor ikke bare x(3y^2)?

[Solar Plexsus]

Husk at y = y(x), dvs. at y er en funksjon av x. Derfor må vi bruke kjerneregelen for å finne den deriverte av y[sup]3[/sup] mhp. x. Nevnte regel gir

[tex]\frac{d}{dx}(y^3) \;=\; \frac{d}{dy}(y^3) \, \frac{dy}{dx} \;=\; (3y^2) y^{\prime}.[/tex]