Differensialligninger

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Serenity
Cayley
Cayley
Posts: 50
Joined: 07/02-2003 23:40

Jeg skal løse følgende differensialligningssystem

x' = 2x-2y
y' = 2x-3y

Noen som har en grei måte å legge dette fram på? :)
Ingenting eksisterer bortsett fra atomer og tomt rom; alt annet er meninger.
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Posts: 8552
Joined: 21/08-2006 03:46
Location: Grenland

(
Serenity wrote:Jeg skal løse følgende differensialligningssystem

x' = 2x-2y
y' = 2x-3y

Noen som har en grei måte å legge dette fram på? :)

Tar forbehold nå, bare tester, nærmest leker:

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = 2x - 2y

[symbol:integral]dx = [symbol:integral](2x - 2y)dy

x = 2xy - y[sup]2[/sup] + C


[tex]dy\over dx[/tex] = y ' = 2x - 3y

[symbol:integral]dy = [symbol:integral](2x - 3y)dx

y = x[sup]2[/sup] - 3xy + D
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Cauchy
Guru
Guru
Posts: 359
Joined: 20/01-2005 11:22

De deriverte her, er det mhp hverandre? Dvs y'(x), x'(y)?
Eller er det er autonomt system, hvor derivasjonen er f.eks på en tidsvariabel?
Solar Plexsus
Over-Guru
Over-Guru
Posts: 1686
Joined: 03/10-2005 12:09

Løsningen til signaturen Janhaa er ikke korrekt. Han behandler jo x som en konstant når han får at [symbol:integral]2x dy = 2xy + C. En langt mer plausibel forklaring er at x og y begge er funksjoner av samme variabel, dvs. at x=x(t) og y=y(t) slik at x' og y' betyr hhv. dx/dt og dy/dt.

Stiller vi dette differensiallikningssystemet opp på matriseform, får vi

[x'] = [2 -2][x]
[y'] .. [2 -3][y].

Koeffisientmatrisa har egenverdiene -2 og 1. Fra lineæralgebraen er det kjent at løsningen av denne matriselikningen da gitt på formen

[tex]x \;=\; Ae^{-2t} \:+\: Be^t,[/tex]
[tex]y \;=\; Ce^{-2t} \:+\: De^t.[/tex]

der A, B, C og D er konstanter. Setter vi dette inn i matriselikningen ovenfor, får vi B = 2D og C = 2A. M.a.o. er løsningen av dette differensiallikningssystemet

[tex]x \;=\; Ae^{-2t} \:+\: 2De^t,[/tex]
[tex]y \;=\; 2Ae^{-2t} \:+\: De^t.[/tex]
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Posts: 8552
Joined: 21/08-2006 03:46
Location: Grenland

Solar Plexsus wrote:Løsningen til signaturen Janhaa er ikke korrekt. Han behandler jo x som en konstant når han får at [symbol:integral]2x dy = 2xy + C. En langt mer plausibel forklaring er at x og y begge er funksjoner av samme variabel, dvs. at x=x(t) og y=y(t) slik at x' og y' betyr hhv. dx/dt og dy/dt.

Stiller vi dette differensiallikningssystemet opp på matriseform, får vi

[x'] = [2 -2][x]
[y'] .. [2 -3][y].

Koeffisientmatrisa har egenverdiene -2 og 1. Fra lineæralgebraen er det kjent at løsningen av denne matriselikningen da gitt på formen

[tex]x \;=\; Ae^{-2t} \:+\: Be^t,[/tex]
[tex]y \;=\; Ce^{-2t} \:+\: De^t.[/tex]

der A, B, C og D er konstanter. Setter vi dette inn i matriselikningen ovenfor, får vi B = 2D og C = 2A. M.a.o. er løsningen av dette differensiallikningssystemet

[tex]x \;=\; Ae^{-2t} \:+\: 2De^t,[/tex]
[tex]y \;=\; 2Ae^{-2t} \:+\: De^t.[/tex]

Skal være enig med det Mr. Plexsus,
men husk jeg skrev med forbehold !
Dessuten spesifiserte ikke Serenity hva man skulle derivere mhp.

x ' = [tex]dx\over dy[/tex] = x' (y) eller x ' = [tex]dx\over dt[/tex] = x ' (t),

hvor sistnevnte selvfølgelig er den mest plausible.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Post Reply