Optimal konsum av mat og bolig...?

[emron]

Trenger litt hjelp med en oppgave, teksten er som følger:

"En student disponerer 10.000 kroner pr. måned til kjøp av mat og leie av bolig. La x være størrelsen på boligen (m2) og y enheter mat. Prisen på bolig er 100 kroner pr. m2. Prisen på mat er 200 kroner pr. enhet. Studentens nyttefunksjon er:

U(x,y) = x^(1/3) y^(1/2)

- Finn studentens optimale konsum av mat og bolig.
- Hva skjer med studentens tilpasning dersom priser og inntekt øker med 10%?

[sEirik]

Nyttefunksjonen er:
[tex]U(x,y) = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt y[/tex]

Vi går ut fra at studenten bruker opp alle pengene til mat og bolig, altså har vi at:
[tex]100x + 200y = 10\ 000[/tex]
[tex]y = \frac{10\ 000 - 100x}{200}[/tex]
[tex]y = -0.5x + 50[/tex]

Setter vi inn dette for y, finner vi nyttefunksjonen gitt ved x:
[tex]u(x) = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt{-0.5x + 50}[/tex]

Nå har vi bare en variabel i funksjonen, og det gjør det enklere å finne toppunktet.
Deriver, eller finn en annen måte å finne toppunktet til u(x) på. Siden jeg egentlig ikke kan å derivere, finner jeg toppunktet grafisk på kalkulatoren. Toppunktet [tex]t \approx (40,\ 18.73)[/tex] viser at en bolig på 40 kvadratmeter gir optimalt konsum.

Hvis både priser og inntekt øker med 10 %, bør ikke dette få noen innvirkning på situasjonen - det vil jo skje det samme som ville skjedd hvis man byttet myntenhet. Men vi sjekker for sikkerhets skyld.

Dette gir at [tex]110x + 220y = 11\ 000[/tex], som nedfører [tex]y = -0.5x + 50[/tex]. Altså samme resultat.