Trigonometri: Samme variabel innenfor og utenfor en sin/cos

[siv.ing.vild]

Det er en stund siden sist jeg holdt på med trigonometri for å si det sånn, og nå sitter jeg med samme variabel både innenfor og utenfor sinus... Jeg skal skrive et uttrykk som en funksjon av r:

h-t = r-r cos(d/2r)

Jeg kom frem til

sin(d/4r)=(h-t)/2r

og så var jeg like langt...


Forslag mottas med takk!

[Solar Plexsus]

Du har gitt identiteten

(1) h - t = r - r cos(d/2r).

Vha. av formelen cos 2x = 1 - 2sin[sup]2[/sup]x får vi at (1) er ekvivalent med

[tex](2) \;\; \sin^2(\frac{d}{4r}) \;=\; \frac{h \:-\: t}{2r}.[/tex]

Settes nå [tex]x = \frac{d}{4r}[/tex] i (2), får vi likningen

[tex](3) \;\; \sin^2 x \;=\; cx,[/tex]

der [tex]c \;=\; \frac{2(h \:-\: t)}{d}[/tex] er en konstant. Likninger av denne typen kan ikke løses eksakt. Altså er det umulig å uttrykke r ved d, h og t.

[Magnus]

Ja, prøvde meg frem med maple jeg også og observerte akkurat dette. Sikker på at det ikke er et eller annet eksperiment du har gjort her, så cos-leddet kan sløyfes? 2r << d ?

[siv.ing.vild]

Vel, det jeg faktisk forsøker å gjøre er å uttrykke en radie ved hjelp av sirkelsektorens buelengde og "høyden" i det utsnittet du får mellom buen og et rett kutt (dvs hvis du fjerner "trekanten" - arg, skulle være mulig å tegne her!!).

Men jeg mistenker at jeg kan ha en variabel for lite etter å ha uttrykt vinkelen som buelengde/r...