Kan gjøre det uten å gjøre om til såkalte sfæriske-koordinater også.
Se bort i fra de verdiene som ikke nevnes her. Jeg har brukt illustrasjonen til noe annet før..
Vi ønsker altså å integrere volumet fra -R, til R på figuren. Vi legger et koordinatsystem i sentrum, med x-akse horisontalt på figuren. Vi ser da at avstanden hele tiden fra x-aksen opp til sirkelen kan skrives som:
[tex]y = \sqrt {R^2 - x^2}[/tex]
Så skal vi altså integrere dette fra -R, til R.(vi summerer altså alle de små aralene de lager)
[tex]V = \pi*\int _{-R}^R (\sqrt {R^2 - x^2})^2 dx[/tex]
[tex]V = \pi * \int _{-R}^R (R^2 - x^2) dx[/tex]
[tex]V = 2*\pi*[R^2x - \frac {x^3}{3}]_0 ^R[/tex]
(den er symmetrisk om sentrum..)
[tex]V = 2\pi*(R^3 - \frac {R^3}{3}) = 2\pi*(\frac {2R^3}{3}[/tex]
[tex]V = \frac {4}{3}\pi R^3[/tex]
Q.E.D