Differensialligning, vekstrate, populasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
vector
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 4
Joined: 18/10-2006 19:03

Jeg har fått denne oppgaven som jeg ikke har løst noe av tidligere;

En dyrepopulasjon antas å følge differensiallikningen
1/N dN/dt = a(B-N) ; a,B >0
hvor er antall individer i populasjonen, og tiden måles i år.
a) Anta at populasjonen har relativ vekstrate på 10 per år, og at populasjonen består av 1100 individer på et gitt tidspunkt. Hva er da vekstraten til populasjonen på det gitte tidspunktet?

b) Finn den generelle løsningen av differensiallikningen, gjør rede for eventuelle konstante løsninger, og skisser de typiske integralkurvene for løsningene.

c) Du får oppgitt at populasjonen ved er 1000, og at bærekapasiteten til populasjonen er 2000. Etter ti år blir det estimert at populasjonen har 1500 individer (ved t = 10 ). Regn ut a.


Mvh
Vector
Last edited by vector on 18/10-2006 21:37, edited 2 times in total.
Solar Plexsus
Over-Guru
Over-Guru
Posts: 1686
Joined: 03/10-2005 12:09

Du har gitt den separable diff.likningen

[tex]\frac{1}{N} \, \frac{dN}{dt} \;=\; a(B \:-\: N)[/tex]

[tex]\frac{dN}{N(B \:-\: N)} \;=\; a \, dt[/tex]

[tex]\int \frac{1}{N} \:+\: \frac{1}{B \:-\: N} \: dN \;=\; aB \int dt[/tex]

[tex]\ln N \:-\: \ln(B \:-\: N) \;=\; aBt \:+\;c[/tex] (c vilkårlig konstant)

[tex]\ln \big( \frac{N}{B \:-\: N} \big) \;=\; aBt \:+\;c[/tex]

[tex]\frac{N}{B \:-\: N} \;=\; e^{aBt \:+\;c} \;\; osv.[/tex]
vector
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 4
Joined: 18/10-2006 19:03

Hva er da vekstraten? (oppg a)
Hva er generell løsning, konstante løsninger, og hvordan skal jeg skissere de typiske integralkurvene for løsningene? (oppg b)


oppgave c skal jeg nok klare, men er rimelig blank på a og b.

Er svaret på c) a=5,5*10^-5?
vector
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 4
Joined: 18/10-2006 19:03

Noen som kan hjelpe?!?
Lasj
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 6
Joined: 02/06-2005 19:57

Hehe, du har sikkert informatikk på ntnu :P Jeg sliter med akkurat samme oppgaven. Btw, hvordan dukker plutselig B-en opp på høyresiden ved intergreringa?
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Posts: 8552
Joined: 21/08-2006 03:46
Location: Grenland

vector wrote:Hva er da vekstraten? (oppg a)
Hva er generell løsning, konstante løsninger, og hvordan skal jeg skissere de typiske integralkurvene for løsningene? (oppg b)


oppgave c skal jeg nok klare, men er rimelig blank på a og b.

Er svaret på c) a=5,5*10^-5?

Jeg har også regna ut a = 5.5*10[sup]-5[/sup]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Post Reply