Finne dy/dx

[Delai]

Finn dy/dx:

1) y = x arcsin (x) + [symbol:rot] 1 - x^2 (kvadratrot av både 1 og x^2)

2) y = - 1/2 ln (x^2 + 1) + x arctan (x)

[euklid]

Hei Delai.

Bare deriver (1) og (2) på hensyn av x.

[Delai]

Ja, men jeg husker ikke hvordan det regnes ut. Lenge siden jeg har hatt matte, og skal hjelpe en kamerat....

[euklid]

Her finner du alt du trenger:
http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives

[Delai]

Takk, men er det noen som kunne ha regnet ut oppgaven?

[euklid]

Jeg anbefaler deg å prøve deg på det på egenhånd først.
Da lærer du mer. Hvis du fortsatt er i tvil, kan du integrere svaret ditt eller poste fremgangsmåten din.

[daofeishi]

Siden det er en stund siden, skal jeg gi deg noen hint med bevis:

[tex]y = \arcsin (x) \rightarrow x = sin (y)[/tex]
[tex]\frac{dx}{dy}= cos (y) \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos (y)} = \frac{1}{\cos ( \arcsin (x) )}[/tex]



Jeg refererer til bilde: [tex]\cos ( \arcsin (x) ) = \sqrt{1-x^2}[/tex]
Dermed:
[tex] \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]


[tex]y = \ln (x) \rightarrow x = e^y[/tex]
[tex]\frac{dx}{dy} = e^y \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}[/tex]
Altså:
[tex]\frac{d}{dx} \ln (x) = \frac{1}{x}[/tex]


Husk også kjerneregelen:
Gitt en funksjon [tex] y = f( p(x) )[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dp} \frac{dp}{dx}[/tex]

[Janhaa]

Finn dy/dx:

1) y = x arcsin (x) + [symbol:rot] 1 - x^2 (kvadratrot av både 1 og x^2)

2) y = - 1/2 ln (x^2 + 1) + x arctan (x)

Løser disse nå, regner med du har fått gode hint av daofeishi og euklid:

1)

Y ' = [tex](1\cdot arcsin(x)+{x\over sqrt{1-x^2}})\;[/tex]-[tex]\;2x\over 2sqrt{1-x^2}[/tex]

Y ' = [tex] arcsin(x)\;+\;{x-x\over sqrt{1-x^2}[/tex]

Y ' = [tex] arcsin(x)[/tex]




2)

Y = [tex]{-ln(x^2+1)\over 2}\;+\;[/tex][tex]x\cdot arctan(x)[/tex]

[tex]Y `\;=\;[/tex][tex]{-2x\over 2(x^2+1)}\;+\;[/tex][tex]{x\over 1+x^2}\;+\;[/tex][tex]1\cdot arc tan(x)[/tex]


[tex]Y `\;=\;[/tex][tex]arctan(x)[/tex]