Definisjonsområdet

[Minnie]

Er definisjonsområdet det samme som definisjonsmengden? Jeg skal finne definisjonsområdet for
a) e^(2x) - e^x

b) (2(x+1)) / (2^x + 1)

c) lnx / x^2

Noen som har råd som kan hjelpe meg på vei?

[Magnus]

Definisjonsområdet er de x hvor funksjonen er definert.

1)
Her ser vi at funksjonen er definert for alle [tex]x\in\mathbb R[/tex].

2)
[tex]\frac {2x+2}{2^x+1}[/tex]

Her kan ikke nevneren være 0. Men for at den skal være 0, så må jo [tex]2^x=-1[/tex] hvilket impliserer i bruk av imaginære tall. Vi får da:
[tex]x\in\mathbb R[/tex]

3)
[tex]\frac {ln|x|}{x^2}[/tex]

Her kan ikke x være 0 av to grunner. Er x 0 får vi divisjon på 0, er x 0 får vi logaritmen til 0 som ikke er definert. For x<0 vil vi få logaritmen til et negativt tall, hvilket innebærer komplekse tall. Så i ditt tilfelle får vi:

[tex]x\in{\mathbb R}^+\backslash\{0\}[/tex]

[Minnie]

takk for bra svar, men hvordan "ser" du at x E r for 1?

og hvordan gjør jeg det når jeg skal finne definisjonsområdet for en ligning og ikke en brøk? (mangler et bra eksempel på den der, men altså - jeg er med på den at nevner ikke kan være null, men hva gjør jeg når jeg leter etter definisjonsområdet for ligning og ikke en brøk?)

[Magnus]

Fordi den nødvendigvis må ta alle verdier? Ganske opplagt i grunn. Når det gjelder likningen er det jo bare å sjekke hvert ledd.

[sEirik]

For å si det sånn:

[tex]e^{2x} - e^x[/tex]

Det er ingenting her som tyder på noe annet enn at uttrykket er definert for alle reelle tall x. Ergo kan vi si at definisjonsmengden er [tex]\mathbb R[/tex].
I de andre oppgavene derimot, er det noe som gjør at uttrykket ikke er definert for alle tall. Dette er fordi operasjoner med slike x-er ikke er definert. Det er for eksempel:
1) Ikke lov å dele på 0
2) Ikke lov å ta logaritmen av ikke-positive tall
Derfor er det slik at hvis en nevner kan være lik null (gjerne fordi den inneholder et uttrykk med x), må vi finne ut hvilke verdier nevneren blir null for, og eliminere disse fra definisjonsmengden.
F.eks.

[tex]\frac{2x^2 - 4}{x-2}[/tex]

Vi begynner med [tex]\mathbb R[/tex] som definisjonsmengde.
Vi ser at det er en brøk med i uttrykket. Nevneren til brøken er [tex]x-2[/tex]. Siden nevneren ikke kan være null, har vi at

[tex]x - 2 \not = 0[/tex]
(flytter over 2)
[tex]x \not = 2[/tex]

Altså ser vi at x ikke kan være lik to. Det er logisk, for det ville innebære å dele på null: [tex]\frac{2 \cdot 2^2 - 4}{2-2} = \frac{4}{0}[/tex]. Det er også logisk at man ikke kan dele på null.
Tenk deg følgende: Du har 6 kjeks, og skal dele dem på 3 personer. Da får hver person [tex]\frac{6}{3} = 2[/tex] kjeks hver. Nå, tenk det at du har 4 kjeks, men ingen personer til å dele på dem. Hvor mange kjeks blir det da pr person? Du skjønner at spørsmålet ikke gir mening.

I hvert fall; vi vet at [tex]x \not = 2[/tex], ellers kan x være alle reelle tall. Det noteres med \ slik som Magnus har gjort, evt. kan man skrive det med ord.

[daofeishi]

2) Ikke lov å ta logaritmen av ikke-positive tall

Det er så absolutt lov. Den komplekse logaritmen er veldefinert, og det er fullt mulig å skape en mapping fra reelle tall til komplekse tall.
[tex]\ln (z) = \ln |z| + i \cdot arg(z), \ \ \ z \in \mathbb{C}[/tex]

Dermed, dersom funksjonen f = ln(x) har domene alle reelle tall, får vi en mapping [tex]f \ : \ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb {C}[/tex]

1) Ikke lov å dele på 0

Ikke under ordinær aritmetikk, nei. Ta en titt på dette:
Jesper Carlström - On division by zero.

[Magnus]

2) Ikke lov å ta logaritmen av ikke-positive tall

Det er så absolutt lov. Den komplekse logaritmen er veldefinert, og det er fullt mulig å skape en mapping fra reelle tall til komplekse tall.
[tex]\ln (z) = \ln |z| + i \cdot arg(z), \ \ \ z \in \mathbb{C}[/tex]

Dermed, dersom funksjonen f = ln(x) har domene alle reelle tall, får vi en mapping [tex]f \ : \ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb {C}[/tex]

1) Ikke lov å dele på 0

Ikke under ordinær aritmetikk, nei. Ta en titt på dette:
Jesper Carlström - On division by zero.

Er vel greit å påmerke at vi fortsatt befinner oss på et norskt nivå der komplekse tall ennå ikke inngår, men selvfølgelig, noen liker vel å gå utenfor pensum. Det kan vel også nevnes at det heller ikke er lov til å ta logaritmen til 0 (merk, 0 er et nøytralt element, ikke negativt.).

[sEirik]

Er vel greit å påmerke at vi fortsatt befinner oss på et norskt nivå der komplekse tall ennå ikke inngår

Nettopp (Har et prinsipp jeg følger når jeg hjelper folk her - forklar mer enn å forvirre. Og ja, vet at både dele på null og logaritme til negative tall er definert i andre, sære sammenhenger, men vi befinner oss fortsatt på MX-nivå her.)

Det kan vel også nevnes at det heller ikke er lov til å ta logaritmen til 0 (merk, 0 er et nøytralt element, ikke negativt.).

Nettopp, derav at det ikke er lov til å ta logaritmen av ikke-positive tall.
Forskjellen på "ikke-positiv" og "negativ" er at de ikke-positive tallene også inkluderer 0, mens de negative ikke gjør det.

[daofeishi]

Forskjellen på "ikke-positiv" og "negativ" er at de ikke-positive tallene også inkluderer 0, mens de negative ikke gjør det..

Jeg regner her med du snakker om settene [tex]\mathbb{N}[/tex] og [tex]\mathbb{Z}[/tex], og mener at 0 inngår som element kun i det siste - noe som er diskutabelt, og kommer helt an på definisjon. Flere tekster opererer med definisjonen [tex]\mathbb{N} = \{0, \, 1, \ 2... \}[/tex] og [tex]\mathbb{N}^* = \mathbb{N} \backslash \{0 \}[/tex]. Dere har selvfølgelig helt rett i at den komplekse logaritmen av 0 ikke er definert.

Selv om forenklingen er grei i kontekst av en norsk matteeksamen, er det ikke strengt tatt hele den matematiske sannheten - og det er vel strengt tatt den vi prøver å tilnærme oss når vi studerer matematikk? Spesielt på MX-nivå? Selvfølgelig kan det velges å se helt bort fra min post over, men jeg mener at generell funksjonsteori kan være interessant å undersøke som matematikkstudent. Jeg skulle i grunnen også gjerne se at komplekse tall kom inn i mattepensum på videregående skole. Men pensumdiskusjoner hører hjemme en annen plass