Differensiallikninger

[mikael1987]

Har problemer med å løse dette initialverdiproblemet.:


x^2y`+2xy=arctan x ,y(1)= [symbol:pi] /4

[Magnus]

Hvis du tar en liten titt på din venstre side ser du nok at vi står igjen med:

[tex]x^2y = \int {arctan(x) dy}[/tex]

Er det denne delen du trenger hjelp med ?

[mikael1987]

Hei!

Nei, jeg klarer å løse det problem, men hva har du gjort for å få

x^2*y`= [symbol:integral] arctanx du?

[daofeishi]

[tex] x^2 \frac{dy}{dx} +2xy = \tan ^{-1} (x) \\ \frac{d}{dx} x^2y = \tan ^{-1} (x) \\ x^2y = \int \tan ^{-1} (x) \ dx \\ x^2 y = x\tan ^{-1} (x) - \frac{\ln (x^2 + 1)}{2} + C \\ y = \frac{\tan ^{-1} (x)}{x} - \frac{\ln (x^2 + 1)}{2x^2} + Cx^2[/tex]

Dermed er det bare å plotte inn initaialverdiene og løse:
[tex]y(1) = \tan ^{-1} (1) - \frac{1}{2} \ln(2) + C = \frac{\pi}{4} - \ln (\sqrt{2}) + C = \frac{\pi}{4} \\ C = \ln (\sqrt{2})[/tex]

Funksjonen blir:
[tex]y = \frac{\tan ^{-1} (x)}{x} - \frac{\ln (x^2 + 1)}{2x^2} + \ln (\sqrt{2})x^2[/tex]

[mikael1987]

Åja, nå skjønner jeg poenget.

takker så meget