Pyramide

[tosken]

En pyramide med grunnflaten ABCD og toppunktet T har hjørne i punktene A(1, 1, 1 ), B(3, 2, 2 ), C(2, 3, 3 ), D(0, 2, 2 ) og T(2, 2, 7).

a) Vis at grunnflata er et rektangel.
b) Vis at vektoren står vinkelrett på grunnflaten.
c) Finn høyden i pyramiden.
d) Finn volumet av pyramiden.

På forhånd takk

[Janhaa]

En pyramide med grunnflaten ABCD og toppunktet T har hjørne i punktene A(1, 1, 1 ), B(3, 2, 2 ), C(2, 3, 3 ), D(0, 2, 2 ) og T(2, 2, 7).

a) Vis at grunnflata er et rektangel.
b) Vis at vektoren står vinkelrett på grunnflaten.
c) Finn høyden i pyramiden.
d) Finn volumet av pyramiden.

På forhånd takk

----------------------------------------------------------------------------


a)

[tex]\vec {AB}\;=\;[/tex][tex][2,1,1][/tex][tex]\;=\;\vec {DC}[/tex]

og

[tex]\vec {BC}\;=\;[/tex][tex][-1,1,1][/tex][tex]\;=\;\vec {AD}[/tex]

ergo er grunnflata et rektangel


b)
litt usikker hva de mener her, men:

[tex]{\vec N}\;=\;[/tex][tex]\vec {AB}\;[/tex]x[tex]\vec {AD}[/tex]

[tex]{\vec N}\;=\;[/tex][tex][2,1,1]\;[/tex]x[tex][-1,1,1][/tex]

[tex]{\vec N}\;=\;[/tex][tex][0,-3,3][/tex]

altså [tex]\;{\vec N} \;er\;[/tex]normalvektor og den bestemmes ved
kryssproduktet (matrise/determinant).


Da vil [tex]\;\vec {AB}[/tex] være vinkelrett på [tex]\;\vec N[/tex]

og [tex]\;\vec {AD}[/tex] være vinkelrett på [tex]\;\vec N[/tex]

Dvs:[tex]\;{\vec N}\;\cdot \;[/tex][tex]\vec {AB}\;[/tex][tex]=\;0[/tex]

[0, -3, 3]*[2, 1, 1] = 0 - 3 + 3 = 0

ja vektoren er vinkelrett på grunnflata.

tilsvarende for [tex]\;\vec {AD}[/tex]


c)

Tja, nå har jeg dårlig tid..

Høyden er vel (?) 7 - 1 = 6

z-koordinat til T minus z-koordinat til A.


d)

[tex]V\;=\;[/tex][tex]1\over 3[/tex][tex]|\vec N\cdot \vec {AT}|[/tex]

[tex]V\;=\;[/tex][tex]1\over 3[/tex][tex]|[0,-3,3]\cdot [1,1,6]|[/tex]

[tex]V\;=\;[/tex][tex]{15\over 3}[/tex][tex]\;=\;{5}[/tex]


nå gikk d fort ...

[tosken]

Mange takk