Hei.
Holder på med sammenlikningststen og grensesammenlikningstesten. Det jeg ikke skjønner er hvordan man bestemmer en rekke som man kan sammenlikne med.
Eks. sammenlikningstesten:
Avgjør om [symbol:sum] (n^2+1)/(2n^3-1) konvergerer eller divergerer.
[symbol:uendelig] til n=1
Hvordan avgjør man hvilke rekke man skal sammenlikne med??
Konvergenstester
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Med rekker er det sånn at det i bunn og grunn bare er halen som bestemmer om den konvergerer eller ikke. Ser du på et endelig antall ledd i begynnelsen av rekka, vil jo summen av disse alltid være endelig og ikke påvirke om rekka konvergerer eller divergerer.
Det du kan merke deg med rekka di er at det n-te leddet er omtrent 1/2n. Prøv å sette n=100, 500, 1000, etc. og sammenlign med det faktiske ledd.
Hvordan kan man så vite at ledda langt ute ligner på 1/2n? Hvis du skal summere opp P(n)/Q(n) hvor P og Q er polynomer fra n=1 til n=uendelig, holder det faktisk å se på differansen i graden til polynoma: Regn ut deg(Q)-deg(P), si det blir m. I såfall vil ledda langt ute ligne på 1/Ax^m hvor A er en konstant.
I ditt tilfelle ser vi at deg(2n^3-1)-deg(n^2+1)=3-2=1, så langt ute i rekka vil ledda se omtrent ut som 1/Ax. Som jeg skreiv tidligere brukte jeg her A=2. (Hvorfor? Se om du kan finne ut av det! Det har med koeffsienter å gjøre.)
Vi er allikevel ikke helt i mål. Som du sikkert har skjønt ønsker vi å sammenligne med rekka 1/x. Du må nå vise at [tex]\frac{n^2+1}{2n^3-1}\geq\frac{1}{An}[/tex] for alle n større enn et eller annet tall n_0. Det bør være grei skuring. Vær imidlertid obs på at du kanskje må velge en annen A enn den vi fant å være 2 i stad. Det betyr dog ikke noe siden [tex]\sum f(n)[/tex] konvergerer/divergerer akkurat likt som [tex]\sum Af(n)[/tex] når A er en konstant.
Da skulle vi være framme og kan konkludere: Siden [tex]\frac{n^2+1}{2n^3-1}\geq\frac{1}{An}[/tex] må [tex]\sum \frac{n^2+1}{2n^3-1}\geq\sum \frac{1}{An}[/tex] og siden den siste rekka som kjent divergerer, vil også den første gjøre det.
Skal du vise konvergens, må ulikheta sjølsagt vises andre veien.
Det du kan merke deg med rekka di er at det n-te leddet er omtrent 1/2n. Prøv å sette n=100, 500, 1000, etc. og sammenlign med det faktiske ledd.
Hvordan kan man så vite at ledda langt ute ligner på 1/2n? Hvis du skal summere opp P(n)/Q(n) hvor P og Q er polynomer fra n=1 til n=uendelig, holder det faktisk å se på differansen i graden til polynoma: Regn ut deg(Q)-deg(P), si det blir m. I såfall vil ledda langt ute ligne på 1/Ax^m hvor A er en konstant.
I ditt tilfelle ser vi at deg(2n^3-1)-deg(n^2+1)=3-2=1, så langt ute i rekka vil ledda se omtrent ut som 1/Ax. Som jeg skreiv tidligere brukte jeg her A=2. (Hvorfor? Se om du kan finne ut av det! Det har med koeffsienter å gjøre.)
Vi er allikevel ikke helt i mål. Som du sikkert har skjønt ønsker vi å sammenligne med rekka 1/x. Du må nå vise at [tex]\frac{n^2+1}{2n^3-1}\geq\frac{1}{An}[/tex] for alle n større enn et eller annet tall n_0. Det bør være grei skuring. Vær imidlertid obs på at du kanskje må velge en annen A enn den vi fant å være 2 i stad. Det betyr dog ikke noe siden [tex]\sum f(n)[/tex] konvergerer/divergerer akkurat likt som [tex]\sum Af(n)[/tex] når A er en konstant.
Da skulle vi være framme og kan konkludere: Siden [tex]\frac{n^2+1}{2n^3-1}\geq\frac{1}{An}[/tex] må [tex]\sum \frac{n^2+1}{2n^3-1}\geq\sum \frac{1}{An}[/tex] og siden den siste rekka som kjent divergerer, vil også den første gjøre det.
Skal du vise konvergens, må ulikheta sjølsagt vises andre veien.
-
mikael1987
- Cayley
- Innlegg: 84
- Registrert: 01/11-2006 22:04
OK, jeg skjønner.
Men hva skal man samenlikne med når vi har en slik rekke:
[symbol:sum] ( [symbol:pi] /2-arctan n) ??
n=0 til [symbol:uendelig]
Er det ikke smartest å bruke grensesammenlikningstesten her? Men her forstår jeg ikke hva jeg skal sammenlikne med..
Det var også en annen sak jeg stusset over.
Skal avgjøre om rekken er absolutt -eller betinget konvergent, eller divergent.:
[symbol:sum] (-1)^n/(n^+4)
n=0 til [symbol:uendelig]
Hvordan ser man forskjell på absolutt og betinget konvergens??
Men hva skal man samenlikne med når vi har en slik rekke:
[symbol:sum] ( [symbol:pi] /2-arctan n) ??
n=0 til [symbol:uendelig]
Er det ikke smartest å bruke grensesammenlikningstesten her? Men her forstår jeg ikke hva jeg skal sammenlikne med..
Det var også en annen sak jeg stusset over.
Skal avgjøre om rekken er absolutt -eller betinget konvergent, eller divergent.:
[symbol:sum] (-1)^n/(n^+4)
n=0 til [symbol:uendelig]
Hvordan ser man forskjell på absolutt og betinget konvergens??