Dagens tankeeksperiment - definisjon på naturlig logaritme

[sEirik]

Greit - jeg fikk ikke helt sove i går kveld, og kom til å tenke på at den naturlige logaritmen er definert som [tex]\int_1^x \frac{1}{x} dx[/tex]. Dette integralet kan man ikke finne analytisk uten å bruke den naturlige logaritmen, fordi det ville kreve at man kan dele på null, men man kan jo finne en god tilnærmingsverdi, ved å finne arealet under f.eks. [tex]\frac{1}{x^{1.1}}[/tex]. Eller en enda bedre tilnærming, arealet under [tex]\frac{1}{x^{1.00001}}[/tex] ! Kanskje man kan definere den naturlige logaritmen som arealet under en graf gitt ved en grenseverdi? Slik at [tex]\ln (x) = \lim_{n \rightarrow 1}\ \int_1^x (x^{-n}) dx[/tex]? Ved hjelp av denne grenseverdien kan vi nemlig finne et nøyaktig uttrykk for integralet. Med potensregelen får vi da til slutt at integralet blir [tex]\lim_{n \rightarrow 1}\ \frac{x^{1-n}}{1-n}[/tex]. Arealet mellom 1 og x blir da [tex]\lim_{n \rightarrow 1}\ \frac{x^{(1-n)}-1}{1-n}[/tex]. Ergo er

[tex]\ln (x) = \lim_{n \rightarrow 1}\ \frac{x^{(1-n)}-1}{1-n}[/tex]

Eventuelt

[tex]\ln (x) = \lim_{n \rightarrow 0}\ \frac{x^n-1}{n}[/tex]

Prøver på kalkulatoren med x = 8, og velger n = 0.0001. Får da at [tex]\ln x \approx 2.0794[/tex]. Den riktige ln-verdien er [tex]\approx 2.0794[/tex]. Ikke dårlig. Vi hadde kanskje fått mer nøyaktig svar ved å velge mindre verdi for n. Har vi kanskje kommet frem til en alternativ definisjon på naturlig logaritme?

[Magnus]

Nå har jeg ikke sett så mye på dette - kan se litt mer på det senere. Men ettersom det var så kreativt mener jeg det fortjener et svar. Slik jeg ser det nå er det mulig å gjøre det som har blitt gjort, men er noe med notasjonen jeg er litt skeptisk til - klarer bare ikke helt å sette fingeren på det.

Skal komme tilbake til det.

[sEirik]

noen konklusjoner?

[Magnus]

Vel. Det du har skrevet der er korrekt, men det er ingen ny definisjon.

http://functions.wolfram.com/Elementary ... ns/Log/09/

Faktisk en ganske kjent definisjon! Men bra jobba er det likevel.

[sEirik]

Hehe, det var det jeg hadde tenkt meg det, at jeg hadde funnet opp hjulet på nytt. Men men. En dag finner jeg kanskje en definisjon som ikke allerede er funnet...