Integrasjon med brøk

[Markonan]

Hallo igjen!

I tilfelle dere lurer så er ikke jeg en bot. Bare en stakkar som spammer forumet med spørsmål i søken om en høyere matematisk forståelse.

Fikk problemer med denne:

[tex]\int \frac{1}{2x+1} dx[/tex]

Den store utfordringen er brøkstreken. I formlene står det kun:
[tex](ln x)\prime = \frac{1}{x}[/tex]

Plottet det deretter inn på Maple og fant svaret:
[tex]\frac{1}{2}ln(2x+1)[/tex]

Eller varianten jeg måtte bruke for å kunne derivere det tilbake i Maple:
[tex]\frac{ln(2x+1)}{2}[/tex]

Kan noen vise meg hvordan man kommer frem til svaret? Gjerne litt detaljert og enkelt forklart, slik at en hvilken som helst idiot ville forstått det.

[Magnus]

Velg u = 2x+1

[tex]\frac {du}{dx} = 2[/tex]

[tex]du = 2dx[/tex]

Dette gir oss da:

[tex]I = \frac {1}{2}\int \frac {2}{2x+1} dx = \frac {1}{2}\int \frac {du}{u} = \frac {1}{2}ln(u) = \frac {1}{2}ln(2x+1) + C[/tex]

Der C er en vilkåerlig konstant.

[Markonan]

Aha! Var faktisk inne på det riktige nå!
Takk for svaret og hjelpen!

[Markonan]

Klarte et par av integrasjon ved substitusjons-oppgavene.
Står nå fast på denne.

[tex]\int_{\tiny 0}^{\tiny 1/2} (\frac{1}{1+4x^2}) dx[/tex]

Prøvde tappert å substituere med 4x, men det skar seg!
Den skal nemlig på formen:

[tex]\frac{1}{1+x^2}[/tex]

for da blir integralet arctan[x] funksjonen. Hva jeg skal substituere er jeg usikker på - eller om det i det hele tatt er en substitusjonsoppgave. Har lekt meg litt med oppgaven, og klarer å regne med frem til alle mulige interessante svar. Desverre er det svaret ene mer riv ruskende gal enn den andre.

Gode, pålitelige Maple forteller meg at svaret blir

[tex]\frac{\pi}{8}[/tex]

Derfor spør jeg dere, mine gode venner, om hjelp!
Litt hjelp fra dere, og mye spamming av forumet fra meg, kommer til å resultere i en velfortjent B i Kalkulus.

[sEirik]

Nå blir vel dette et skudd i blinde, for jeg kan ingenting om integrasjon av annet enn polynomialer.

Men [tex]1 + 4x^2 = 1 + (2x)^2[/tex], hvis det hjelper deg ...

[ingentingg]

sEirik er veldig god til å skyte i blinde.
Hvis du setter u = 2x, så vil du få det på formen [tex]\frac1{1+u^2}[/tex] med en faktor foran

[Markonan]

Himmel og havkatt. Greit å være så solid med algebra som jeg er.
Når det første man prøver ikke funker, så slutter all rasjonal tankegang.

Tusen takk! Dette forumet er det mest geniale stedet på hele nettet!