Integrasjon

[Markonan]

Hei alle sammen.
Går gjennom gamle eksamener og begynte å svette litt da jeg så denne:

[tex]\int x\cdot ln(x+1)dx[/tex]

Delvis integrasjon funket dårlig for min del. Man vil jo bli kvitt ln(x+1) leddet, man da blir regningen styggere og styggere uten at man helt ordentlig blir kvitt det! Noen som har noen tips?

[sEirik]

Hmm.

Hjelper det med litt variabelskifte?

[tex]I = \int x \cdot \ln (x+1) dx[/tex]

[tex]u = x + 1,\quad u^\prime = 1[/tex]

[tex]I = \int x \cdot \ln u \cdot u^\prime dx[/tex]

[tex]= (u - 1) \cdot \ln u\ du[/tex]

Har ikke prøvd videre herfra, men blir det enklere kanskje?

[Markonan]

Edit: OBS! Feil regning følger!

Prøvde meg på den, men satt igjen med det samme problemet. Ble ikke kvitt ln(x)'en ordentlig. Deretter så jeg at jeg hadde slått inn noe feil i Maple, fordi svaret jeg fikk var helt uforståelig!

Klarte den til slutt (med litt veiledning fra herr Maple)!
For de som er interesserte:

[tex]\int x\cdot ln (x+1)dx[/tex]

Delvis integrasjon.
Setter

[tex]u = ln(x+1) \qquad\qquad\qquad u^{,} = \frac{1}{x+1}[/tex]
[tex]v^{,} = x \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v = \frac{1}{2}x^2[/tex]

Delvis integrasjon:
[tex]\int uv^{,} = uv - \int u^{,}v[/tex]

Setter inn og får:
[tex]\frac{1}{2}x^2\cdot ln(x) - \int \frac{1}{x+1}\cdot\frac{1}{2}x^2 dx[/tex]

Tar det siste integralet for seg:
[tex]\frac{1}{2}\int\frac{x^2}{x+1}dx = \frac{1}{2}\int x dx = \frac{1}{2}[\frac{1}{2}x^2] + C[/tex]

Setter tilbake i hovedintegralet og får:
[tex]\frac{1}{2}x^2\cdot ln(x) - \frac{1}{4}x^2 + C[/tex]

Korrekt svar!

[Markonan]

Hmmm, merkelig.

Fasiten sa noe helt annet.
I følge den er svaret:

[tex]\frac{x^2}{2}ln(x+1) - \frac{x^2}{4}+\frac{x}{2} - \frac{1}{2}ln(x+1) + C[/tex]

Hva gjorde jeg galt??

[Janhaa]

Prøvde meg på den, men satt igjen med det samme problemet. Ble ikke kvitt ln(x)'en ordentlig. Deretter så jeg at jeg hadde slått inn noe feil i Maple, fordi svaret jeg fikk var helt uforståelig!
[tex]\int x\cdot ln (x+1)dx[/tex]
[tex]u = ln(x+1) \qquad\qquad\qquad u^{,} = \frac{1}{x+1}[/tex]
[tex]v^{,} = x \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v = \frac{1}{2}x^2[/tex]
Delvis integrasjon:
[tex]\int uv^{,} = uv - \int u^{,}v[/tex]
Setter inn og får:
[tex]\frac{1}{2}x^2\cdot ln(x) - \int \frac{1}{x+1}\cdot\frac{1}{2}x^2 dx[/tex]
Tar det siste integralet for seg:
[tex]\frac{1}{2}\int\frac{x^2}{x+1}dx = \frac{1}{2}\int x dx = \frac{1}{2}[\frac{1}{2}x^2] + C[/tex]
Setter tilbake i hovedintegralet og får:
[tex]\frac{1}{2}x^2\cdot ln(x) - \frac{1}{4}x^2 + C[/tex]

---------------------------------------------------------------------------------

Mr. Markonan, dette kan ikke være riktig, fordi: a) det ubestemte integralet ikke inneholder ln(x+1),
b) deriver alltid høyre siden og sammenlign med integranden. De er ulike !

Kjører først delvis integrasjon:

[tex]I\;=\;\int {x\cdot ln|x+1|dx}\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}x^2\cdot ln|x+1|\:-\:{1\over 2}\int {x^2dx\over x+1}[/tex]

dernest polynomdivisjon på siste integral:

[tex]\int {x^2dx\over x+1}\;=\;[/tex][tex]\int ({x-1+{1\over x+1}})dx[/tex]

til slutt:

[tex]I\;=\;\int {x\cdot ln|x+1|dx}\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}x^2\cdot ln|x+1|\;-\:{x^2\over 4}\;+\:{x\over 2}\;-\:{ln|x+1|\over 2}\;+\;C[/tex]


[tex]I\;=\;\int {x\cdot ln|x+1|dx}\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}\cdot (x^2-1)\cdot ln|x+1|\;-\:{x^2\over 4}\;+\:{x\over 2}\;+\;C[/tex]

[Markonan]

Takk takk!

Det var forresten en skriveleif at det ikke stod ln(x+1), men bare ln(x).
Men utregningen var jo galt i den andre delvise integrasjonen min...