Integraloppgave - volum av vispebolle

[sEirik]

Dette er oppgave 4.20 fra "3MX Mate\\matikk" av Aschehoug - Erstad/Heir/Bjørnsgård/Borgan/Pålsgård/Skrede.

En vispebolle har form omtrent som på figuren. Innvendig høyde er 15 cm, og innvendig radius i grunnflata er 6cm. Den innvendige konturen av bollen følger grafen til funksjonen [tex]f(x) = sqrt{8x+52}[/tex]


(Forsøk på gjengivelse av figuren)


Grafen til [tex]f(x)[/tex] er tegnet nedenfor. (dvs. i læreboka er den tegnet, den er tegnet for x-verdier fra -7 til 12. og y-verdier fra -1 til 12.) Når vi dreier grafen 360 grader om x-aksen, får vi dannet en omdreiningslegene. Vispebollen er en el av dette legemet. Finn volumet av bollen.

Fasitsvar: [tex]4524 cm^3[/tex]

Skulle tro dette var grei skuring, men jeg får den ikke helt til.

Dette har jeg kommet frem til:

Radiusen av skjæringssirkelen i x, er [tex]f(x) + 6[/tex], fordi innvendig radius av grunnflata er 6 cm, og kanten av bollen følger konturen til f(x).

Da er arealet av skjæringssirkelen

[tex]A(x) = \pi \cdot (sqrt{8x + 52} + 6)^2[/tex]

Det virker som om oppgava vil ha det til at bunnen av bollen er ved x = -6,5. Høyden av bollen er 15, altså er toppen av bollen ved x = 8,5. Da blir volumet av bollen

[tex]v = \int_{-6,5}^{8,5}\ \pi \cdot (sqrt{8x + 52} + 6)^2\ dx[/tex]

På kalkulatoren får jeg at [tex]v \approx 8654[/tex]. Men dette stemmer jo ikke med fasiten! Hva har jeg gjort feil?

[.ing]

Hva skal svaret være?

Jeg får 3110 når jeg regner ut integralet ditt på kalkulatoren.

[Tommy H]

Du tenker litt feil angående A(x). Tegner du grafen på kalkulator forstår du fort at det ikke kan bli f(x) + 6.

f(x) er jo hele tiden radiusen i omdreiningssirklene, men problemet blir å finne en nedre grense som er slik at radiusen i den første omdreiningssirkelen er lik radiusen til grunnflata, altså f(x)= 6. Vi løser da likningen f(x) og får at x=-2

Siden høyden i bollen er 15 gir det oss integralet:

[tex]\int_{-2}^{13} \pi \cdot (\sqrt{8x+52})^2 dx=4524[/tex]

[sEirik]

Tusen takk, nå skjønte jeg den endelig!

Men jeg synes oppgaveteksten var litt uklar.

[Thaline]

Grrrrrr!
Sånne oppgaver som dette irriterer meg vannvittig.
I læreboka stod det at bollen skulle ligne på den som var avbildet i boka. Jeg prøvde aller først å løse denne oppgaven med å finne hvor f(x) ble lik 6. Men jeg kom fram til at i intervallet fra minus 2 til pluss 13 lignet ikke profilen på bollen den som var avbildet i boken!!!! (Sjekket ikke om svaret matchet med fasiten siden den da ikke lignet i det hele tatt på bollen i boken.)

Profilen på bollen i boken lignet på den i intervallet -6,5 til +8,5.

Jeg blir så irritert når de sier at noe skal ligne på noe det helt klart ikke ligner.