Du må huske at sammenlikningstesten/ratiotesten for absolutt konvergens er inkonklusiv dersom grenseverdien u[n+1]/u[n] går mot 1. Dermed kan du ikke bruke denne testen i dette tilfellet. Dersom du finner at én test sier at en rekke er konvergent og en annen test sier at den er divergent, er sjansene veldig store for at du har gjort noe feil en plass
Siden vi vet at [tex]\sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{n}[/tex] divergerer, kan vi med stor sikkerhet si at denne rekken divergerer. La oss prøve noen tester:
Test av konvergens/divergens for: [tex]\sum _{n=1} ^\infty \frac{5}{n+1}[/tex]
Omskrivning
Sikkert den enkleste i dette tilfellet.
[tex] \sum _{n=1} ^\infty \frac{5}{n+1} = 5 \sum _{k=2} ^\infty \frac{1}{k}[/tex]
og er dermed helt klart divergent.
Sammenlikningstesten:
[tex]\sum _{n=1} ^\infty \frac{5}{n+1} \ > \ \frac{5}{2} \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{n}[/tex]
og er derfor divergent.
Ratiosammenlikningstesten:
Vi sammenlikner med [tex]\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n}[/tex], som vi vet er divergent.
[tex]\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5}{n+1}}{\frac{1}{n}} = 5[/tex]
og rekken er derfor divergent.
Integraltesten:
[tex] \int _1 ^\infty \frac{5}{x+1} dx = 5[\ln (x+1)] _0 ^\infty = \infty[/tex]
og originalrekken er derfor divergent
