funksjonslære

[smartkri]

altså, jeg så nå at jeg deriverte feil. Jeg hadde helt glemt den derivasjon regelen fra 2mz. men en ting, jeg fikk hjelp fra lærern på skolen og han skrev det ned slik:

f(x)=ax^m , f`(x)=m'ax^m-1 --> er dette regelen?

så fortsatte han nedover: h(t)=-4,9t^2+9,8t+1,5

h`(t)=2(-4,9)t^2-1+1*9,8t^1-1+0

=-9,8t+9,8

-9,8t+9,8=0

t=1

men hva betyr f`(x)=m*mx^m-1 ( jeg skjønner ikke det der ).. jeg klarer ikke å bruke denne formelen til å regne ut uttrykket..

Formelen er f'(x) = m*x^m-1

Kanskje enklest å vise med et eksempel:

Om f(x) = x^2 er m=2
Formelen gir da at f'(x) = 2x
Dette gjelder for alle polynomer(når du har x opphøyd i noe, gjelder også om du har et utrykk opphøyd i noe, men da må du huske å gange med deriverte av kjernen)

Formelen sier altså at eksponenten ganges inn som en konstant og graden på leddet minker med en:

Dette gir følgende:

f(x) = 3x^4 + x^2 - 6x

f'(x) = 3*4x^(4-1) + 2x - 6*1x^1-1
= 12x^3 + 2x - 6 (x^0=1)

Som sagt gjelder dette også for et utrykk, illustrerer dette med et eksempel:

f(x) = (3x+1)^3 kjernen er her 3x+1, deriverte av kjernen blir da 3

f'(x) = 3*3(3x+1)^2 her er første 3er deriverte av kjernen og andre eksponenten til utrykket.

Håper dette var forståelig.

PS: Taylor er gøy!

[daofeishi]

Se her, ja, sEirik. Mye bra. Her er et lite hint som kanskje kan hjelpe deg på vei litt.

Du vet at [tex]e^k = 1 \ + \ k \ + \ \frac{k^2}{2} \ + \ \frac{k^3}{6} \ + \ ...[/tex]

Hva skjer dersom du lar [tex]k = x^2[/tex]?

[sEirik]

Ja, selvfølgelig, det var jo lurt

[tex]e^k = \sum_{n=0}^\infty \frac{k^n}{n!}[/tex]

[tex]e^{x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x^2)^n}{n!}[/tex]

[tex]e^{x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{n!}[/tex]

[tex]\int e^{x^2} dx = F(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{n! \cdot (2n+1)}[/tex]

[tex]F(3) \approx 1444,545123[/tex]

[tex]F(1) \approx 1,462651746[/tex]

[tex]\int_1^3 e^{x^2} dx \approx 1443,082471[/tex]

Og vi er i mål

[Tommy H]

Vi hadde en lignende oppgave på juletentamen i 3mx faktisk. Vi fikk riktignok oppgitt taylorrekken til sinx og ut fra det skulle vi bestemme et bestemt integral av sin (x^2). Morsomt å endelig se bakgrunnen for taylorrekken

[Cauchy]

Bare en kommentar for de som vil lære mer om det:

Man egentlig være ganske forsiktig når man bytter summasjon og integrasjon, fordi dette generelt ikke går bra. Man må da bruke enten monoton konvergens, eller Lebesgue's dominert konvergens teorem. Dette faller under generell integrasjonteori, så det er et stykke utenfor videregående pensum, men kan være greit å vite

[Magnus]

Bare en kommentar for de som vil lære mer om det:

Man egentlig være ganske forsiktig når man bytter summasjon og integrasjon, fordi dette generelt ikke går bra. Man må da bruke enten monoton konvergens, eller Lebesgue's dominert konvergens teorem. Dette faller under generell integrasjonteori, så det er et stykke utenfor videregående pensum, men kan være greit å vite

Du har hatt analysens grunnlag antar jeg? Bra kurs?

[ingentingg]

Ny oppgave til sEirik hvis han er interessert.
Fra komplekse tall har vi at: i^2 = -1

Kan du bruke dette til å finne en sammenheng mellom e, sin og cos?
Hint: Bruk taylorutvikling om x = 0.

Du får flere tips hvis du trenger. Foreløig er oppgaven ganske vanskelig.

[Cauchy]

Har hatt analysens grunnlag ja, og syntes det var et kjempekurs. Veldig teoretisk rettet, men føler det var greit å få med seg.

Eugenia Malinikova hadde kurset når jeg hadde det, og hadde laget helt egne notater og oppgaver skreddersydd til faget, så det var kjempemessig

[Magnus]

Har hatt analysens grunnlag ja, og syntes det var et kjempekurs. Veldig teoretisk rettet, men føler det var greit å få med seg.

Eugenia Malinikova hadde kurset når jeg hadde det, og hadde laget helt egne notater og oppgaver skreddersydd til faget, så det var kjempemessig

Jepp. Kjenner til Eugenia, skal ha hun i matematikk 3 nå! Gleder meg virkelig. Skal også ha noe regnegrupper med hu til IMC. Blir nok knall:)

Til Ingentingg:
Den oppgaven der er rimelig tung hvis du ikke kjenner til noe nå ja
(Dog - den kan også vises ved integraler)

[ingentingg]

Er kanskje overkommelig for sEirik. Hvis han går på videregående er det ganske imponerende det han har skrive i denne tråden, men den er som sagt vanskelig. Det er derfor eg har skrive at han kan få hint hvis han trenger.

[ingentingg]

Til Cauchy,
Når det gjelder Taylorpolynom til analytiske funksjoner trenger man ikke bruke monoton konvergens eller Lebesbue, det holdet å referere til Abel og hans konvergens teorem.
Fra dette får man at man kan integrere og derivere summen ledd for ledd.

[russ07]

http://tekstud.com/index.php?skole=NTNU

Og velg taylorpolynom.

Har du ikke noe nyttige sider for meg, som kan forklare til meg intgrasjon..takker og bukker på forhånd!
P.S: denne web siden er utrolig bra,men er ikke helt pensume mitt..har du ikke noe lignende for 3Mx?

[Cauchy]

Til ingentingg:

Dette stemmer selvfølgelig. Tanken min var bare at det er lettere å se det fra disse teoremene, da du for kontinuerlige funksjoner ikke trenger bry deg om målteoretiske spørsmål, og jeg ikke var sikker på om så mange lesere her visste hva analytiske funksjoner var(siden de ikke hadde hatt om Taylorrekker ennå). Samtidig tenkte jeg at for de som ville lære mer om analyse kunne dette være en grei måte å få de videre fra Riemann's teori til Lebesgue's. Men godt de får vite alle innfallsvinkler

[Nhuuu]

Tusen takk for hjelpen! dette ble ganske forståelig for min del! Setter stor pris på at du forklarte den punktlig!

[sEirik]

Sammenheng mellom eulers tall, sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen? Skal jeg finne det ene uttrykt ved det andre for alle sammen? Hmm. Begynner med å sette opp taylor-rekkene da, i hvert fall.

[tex]e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}[/tex]

[tex]\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n + 1)!}[/tex]

[tex]\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}[/tex]

Dette blir vel litt skyting i blinde. Men jeg prøver å bytte ut [tex]-1 = i^2[/tex] i cos-rekka.

[tex]\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!}[/tex]

Så gjør jeg det samme i sin-rekka.

[tex]\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x}{2n+1} \cdot \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!}[/tex]

Da har jeg i hvert fall fått sin- og cos-rekkene til å ligne på hverandre. Men det kan godt være jeg er på villspor nå. Jeg er faktisk på veldig tynn is. Har rett og slett ingen anelse om hva jeg skal gjøre videre.