Derivasjon: f(x) = e^(2x), f'(x) = 2e^(2x) !?

[Teddy]

f(x) = e^(2x)
f'(x) = 2*e^(2x)

Jeg stusser litt på hvilke regler som er brukt, og hvorfor det er slik. e^x = e^x ved derivasjon, og e^2 = 2e. Etter min logikk ville e^(2x) = 2e^x derivert, men slik er det tydeligvis ikke. Er usikker på det hele, kan noen forklare hvorfor det er slik, evt hva e^(3x) blir derivert?

[Magnus]

Vel. Det er kjent at [tex]e^x[/tex] sin deriverte er [tex]e^x[/tex] (bevis gidder jeg ikke nå..). Når du da skal derivere [tex]e^{2x}[/tex] velger du bare u = 2x. Da får du:

[tex]e^u[/tex]

[tex]\frac {du}{dx} e^u = e^u \cdot \frac {du}{dx} = e^{2x} \cdot 2[/tex]

[Teddy]

Kan ikke huske å ha sett den måten å sette det opp på. Regner med at d'en er "derivert", for da gir det jo mening. (u' / x') = 2 / 1, som igjen ser bra ut.
Er det noen slags regel du har brukt her, mener at e^u blir (u' / x')*e^u. Skjønner ikke hvilken regel du har brukt for å få u' / x'.

Er svært takknemlig for hjelp.

[Janhaa]

Kan ikke huske å ha sett den måten å sette det opp på. Regner med at d'en er "derivert", for da gir det jo mening. (u' / x') = 2 / 1, som igjen ser bra ut.
Er det noen slags regel du har brukt her, mener at e^u blir (u' / x')*e^u. Skjønner ikke hvilken regel du har brukt for å få u' / x'.
Er svært takknemlig for hjelp.

u (x) = u = 2x

u ' (x) = u ' = [tex]\;{du\over dx}\;=2[/tex]

der [tex]\;{du\over dx}\;[/tex] er den deriverte av u mhp x, som Magnus skrev.

Dette er bruk av kjerneregelen. Når man deriverer en funksjon (en eller annen), så må også kjernen deriveres.

Vet ikke om du ble klokere nå...

[sEirik]

Jeg tror det som er uklart, er at Magnus brukte Leibniz-notasjon. På videregående bruker vi vanligvis Lagrange-notasjon. I hvert fall hos oss.

Skal vise dette veldig steg-for-steg for deg.

Sett at du har [tex]f(x) = e^{kx}[/tex], der k er en konstant (i dette tilfellet 2).

Vi velger kjerne:

[tex]u = kx[/tex]

Vi deriverer kjernen: (en-konstantganger-x-derivert blir som kjent konstanten, f.eks. [tex](2x)^\prime = 2[/tex], [tex](5x)^\prime = 5[/tex]

[tex]u^\prime = k[/tex]

Vi setter inn u i uttrykket, f blir da en funksjon av u.

[tex]f(u) = e^u[/tex]

Denne deriverer vi mhp u:

[tex]f^\prime(u) = e^u[/tex]

Og vi bruker kjerneregelen:

[tex]f^\prime(x) = f^\prime(u) \cdot u^\prime = e^u \cdot k = ke^{kx}[/tex]

[Magnus]

Selvfølgelig. Det er «by far» lettere å regne med!

[sEirik]

Selvfølgelig. Det er «by far» lettere å regne med!

Ja, hvis du vet hva det er så!

[Teddy]

Hehe, det hjalp med din måte sEirik. Takk for hjelpen begge to!

Leibniz så faktisk lettere ut å regne med for min del. Jeg vet jo ikke hvordan den brukes så jeg får holde meg til det jeg kan, iallefall på prøven jeg har i overimorgen.

Fant ingenting om Leibniz i Per. Er det noe vits i å lære seg Leibnizs måte å gjøre det på, eller er det mer tungvint enn jeg har inntrykk av?

[sEirik]

Den er veldig mye vits i å lære seg. Du kan bl.a. lese om Leibniz og hans notasjon på Wikipedia.