Riemann- og Lebesgue-integral
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det er vanskelig å definere Lebesgue-integralet uten kjennskap til målteori (measure theory). En av fordelene med Lebesgue-integralet er at det kan benyttes på mer generelle mengder enn de reelle tall. Ved å definere det vanlige lengdebegrepet (lengde av intervall) som mål på de reelle tall, vil de imidlertid Riemann- og Lebesgue-integralene bli like for bl.a. alle kontinuerlige funksjoner.
Les forøvrig f.eks. på http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration for mange flere detaljer.
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Som andre har sagt: Lebesgue er vanskelig å forklare, men Riemann går an å forklare. Det blir en litt "grov" forklaring med noen matematiske unøyaktigheter siden du ikke har alt grunnlaget du trenger.
la f(x) være en funksjon gitt på intervallet [a,b]. Dette intervallet kan vi dele opp i biter kalt partisjoner. Disse bitene kan være like store men trenger ikke være det. La oss kalle en slik partisjon P[sub]n[/sub].
Eks: f(x) = x, [0,1]. En partisjon er da å dele intervallet i 2 biter: [0,0.5], (0.5,1], eller [0,0.8],(0.8,1].
Man kan selvsagt dele den opp i 3,4 eller flere intervallet hvis man vil.
Det er lett å innse at det nesten alltid vil være uendelig antall mulige partisjoner P[sub]n[/sub].
I hvert intervall vil funksjonen anta en maksverdi og en minimumsverdi.
(Er ganske unøyaktig her. Funksjonen trenger ikke ta noen maks/min verdi, men noe som kalles sup og inf, men for "enkle" funksjoner vil det være det samme som max og min).
For hver partisjon P[sub]n[/sub] definerer man øvre summen U[sub]n[/sub] til å være summen av
[symbol:sum] (bredden på intervallet n)*(max verdi i intervallet)
Man gjør så tilsvarende for å definere den lavesummen L[sub]n[/sub].
Så tar man den minste av alle U[sub]n[/sub] og kaller dette den øvre riemannsummen. U
Den største av alle de lave summene L[sub]n[/sub] kaller man nedre riemannsum L.
Hvis U = L kaller man den summen for integralet av f over [a,b]
Dette ble en ikke matematisk forklaring, som inneholder mange forenklinger av fravær av nøyaktige definisjoner, men eg trur du kan skjønne ideen bak Riemannintegrerbarhet.
la f(x) være en funksjon gitt på intervallet [a,b]. Dette intervallet kan vi dele opp i biter kalt partisjoner. Disse bitene kan være like store men trenger ikke være det. La oss kalle en slik partisjon P[sub]n[/sub].
Eks: f(x) = x, [0,1]. En partisjon er da å dele intervallet i 2 biter: [0,0.5], (0.5,1], eller [0,0.8],(0.8,1].
Man kan selvsagt dele den opp i 3,4 eller flere intervallet hvis man vil.
Det er lett å innse at det nesten alltid vil være uendelig antall mulige partisjoner P[sub]n[/sub].
I hvert intervall vil funksjonen anta en maksverdi og en minimumsverdi.
(Er ganske unøyaktig her. Funksjonen trenger ikke ta noen maks/min verdi, men noe som kalles sup og inf, men for "enkle" funksjoner vil det være det samme som max og min).
For hver partisjon P[sub]n[/sub] definerer man øvre summen U[sub]n[/sub] til å være summen av
[symbol:sum] (bredden på intervallet n)*(max verdi i intervallet)
Man gjør så tilsvarende for å definere den lavesummen L[sub]n[/sub].
Så tar man den minste av alle U[sub]n[/sub] og kaller dette den øvre riemannsummen. U
Den største av alle de lave summene L[sub]n[/sub] kaller man nedre riemannsum L.
Hvis U = L kaller man den summen for integralet av f over [a,b]
Dette ble en ikke matematisk forklaring, som inneholder mange forenklinger av fravær av nøyaktige definisjoner, men eg trur du kan skjønne ideen bak Riemannintegrerbarhet.