Hei..
a) Vis Cauchy-Schwarz-ulikheten |a*b|<=|a|*|b| i R^3
b) Vis trekantulikhetene |a+b|<=|a|+|b| i R^3
Er litt usikker på hvordan jeg kan behandle disse absoluttverdiene...Noen som har noen tips??
Ulikheter
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
CS: Denne kan vises i R^3 ved å regne rett fram: Anta [tex]\vec{a}=(x_1,y_1,z_1) \; \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)[/tex] Da er [tex]|\vec a \cdot \vec b|^2=(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)^2 \leq (x_1^2+y_1^2+z_1^2)(x_2^2+y_2^2+z_2^2)=|\vec a|^2|\vec b|^2[/tex] som vises ved rett og slett regne ut uttrykka på hver side av ulikheta, la noen ledd slå hverandre i hjel og fullføre 3 kvadrater.
Mer generelt (i R^n) kan det vises sånn: Hvis x er en vektor i R^n gjelder x.x>=0 (prikkprodukt). Det er rett fram å vise. Når har vi likhet?
Anta nå at vi har to vektorer a og b hvor a ikke er nullvektoren. (Da er (u)likheta triviell.) Observer nå at [tex]0\leq(\lambda\vec a+\vec b)\cdot(\lambda\vec a+\vec b)=\lambda^2|\vec a|^2+2\lambda\vec a \cdot \vec b+|\vec b|^2=(\lambda|\vec a|+\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|})^2+|\vec b|^2-\frac{(\vec a \cdot \vec b)^2}{|\vec a|^2}[/tex] for en konstant [tex]\lambda=-\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|^2}[/tex]. Derfra får vi [tex]0\leq|\vec b|^2-\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|^2}[/tex] og raskt det ønska resultat.
Trekantulikheten i R^2,3 er lett å overbevise seg om at stemmer ved å tegne a og deretter b fra a sitt endepunkt og se på trekanten utspent av a, b og a+b; det er naturligvis herfra den har sitt navn.
Den kan vises generelt ved hjelp av CS over: [tex]|\vec a+\vec b|^2=(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b)=|\vec a|^2+2\vec a \cdot \vec b+|\vec b|^2 \leq |\vec a|^2+2|\vec a||\vec b|+|\vec b|^2=(|\vec a|+|\vec b|)^2[/tex]
Mer generelt (i R^n) kan det vises sånn: Hvis x er en vektor i R^n gjelder x.x>=0 (prikkprodukt). Det er rett fram å vise. Når har vi likhet?
Anta nå at vi har to vektorer a og b hvor a ikke er nullvektoren. (Da er (u)likheta triviell.) Observer nå at [tex]0\leq(\lambda\vec a+\vec b)\cdot(\lambda\vec a+\vec b)=\lambda^2|\vec a|^2+2\lambda\vec a \cdot \vec b+|\vec b|^2=(\lambda|\vec a|+\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|})^2+|\vec b|^2-\frac{(\vec a \cdot \vec b)^2}{|\vec a|^2}[/tex] for en konstant [tex]\lambda=-\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|^2}[/tex]. Derfra får vi [tex]0\leq|\vec b|^2-\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|^2}[/tex] og raskt det ønska resultat.
Trekantulikheten i R^2,3 er lett å overbevise seg om at stemmer ved å tegne a og deretter b fra a sitt endepunkt og se på trekanten utspent av a, b og a+b; det er naturligvis herfra den har sitt navn.
Den kan vises generelt ved hjelp av CS over: [tex]|\vec a+\vec b|^2=(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b)=|\vec a|^2+2\vec a \cdot \vec b+|\vec b|^2 \leq |\vec a|^2+2|\vec a||\vec b|+|\vec b|^2=(|\vec a|+|\vec b|)^2[/tex]
-
- Cayley
- Posts: 54
- Joined: 01/12-2006 13:58
Det eg stusser litt over er hvordan du vet at:
(x1x2+y1y2+z1z2)^2<=(x1^2+y1^2+z^2)(x2^2+y2^2+z2^2).
Hvordan vet du at uttrykket på venstre siden er større eller lik uttrykket på høyre?
(x1x2+y1y2+z1z2)^2<=(x1^2+y1^2+z^2)(x2^2+y2^2+z2^2).
Hvordan vet du at uttrykket på venstre siden er større eller lik uttrykket på høyre?
-
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Som sagt, regn ut paranteser, og se hva som blir igjen:
[tex](x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)^2 \leq (x_1^2+y_1^2+z_1^2)(x_2^2+y_2^2+z_2^2)[/tex]
[tex]x_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2+z_1^2z_2^2+2(x_1x_2y_1y_2 + y_1y_2z_1z_2 + z_1z_2x_1x_2) \leq x_1^2x_2^2 + y_1^2y_2^2 + z_1^2z_2^2 + x_1^2y_2^2 + y_1^2z_2^2 + z_1^2x_2^2 + x_1^2z_2^2 + y_1^2x_2^2 + z_1^2y_2^2[/tex]
[tex]0 \leq (x_1y_2-y_1x_2)^2 + (y_1z_2-z_1y_2)^2 + (z_1x_2-x_1z_2)^2[/tex]
Dette stemmer opplagt og vi er i mål.
[tex](x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)^2 \leq (x_1^2+y_1^2+z_1^2)(x_2^2+y_2^2+z_2^2)[/tex]
[tex]x_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2+z_1^2z_2^2+2(x_1x_2y_1y_2 + y_1y_2z_1z_2 + z_1z_2x_1x_2) \leq x_1^2x_2^2 + y_1^2y_2^2 + z_1^2z_2^2 + x_1^2y_2^2 + y_1^2z_2^2 + z_1^2x_2^2 + x_1^2z_2^2 + y_1^2x_2^2 + z_1^2y_2^2[/tex]
[tex]0 \leq (x_1y_2-y_1x_2)^2 + (y_1z_2-z_1y_2)^2 + (z_1x_2-x_1z_2)^2[/tex]
Dette stemmer opplagt og vi er i mål.