For alle som lurer på hvordan integrasjon fungerer

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
sEirik
Guru
Guru
Posts: 1551
Joined: 12/06-2006 21:30
Location: Oslo

Dette er riktignok ikke pensum for videregående skole, men jeg synes allikevel at de som satser på realfag på vdg. bør få med seg dette - en viktig forklaring på hvordan integrasjon egentlig fungerer.

Det vi kaller derivasjon og integrasjon, heter også "Matematisk analyse", "Kalkulus", eller bare "Analyse". Innenfor denne grenen finnes det ett viktig teorem, det har fått et så fint navn som "Analysens fundamentalteorem". Dette teoremet sier at derivasjon og integrasjon er motsatte operasjoner, i den betydning at hvis man integrerer en funksjon, og så deriverer integralet, vil man få den opprinnelige funksjonen. Mange lurer kanskje på hvorfor i all verden man skal antiderivere integranden for å finne integralet, og hvordan dette kan ha noe som helst med areal å gjøre. Det er dette analysens fundamentalteorem gir en forklaring på.

Gitt at vi har en funksjon [tex]f(x)[/tex], som er definert og kontinuerlig i intervallet [tex]\[a\ ,\ b\][/tex]. Det finnes da nødvendigvis en funksjon [tex]F(x)[/tex] som gir integralet fra a til x:

[tex]F(x) = \int_a^x f(t) dt[/tex]

Vi kan for eksempel se på funksjonen [tex]g(x) = 5[/tex], som vi lar være definert i [tex]\[0\ ,\ 20\][/tex]. Med formelen for arealet at et rektangel vet vi at integralfunksjonen blir
[tex]G(x) = \int_0^x g(x) =[/tex] høyde ganger bredde på rektangelet [tex]= 5 \cdot x[/tex]

Vi lar det så finnes et tall [tex]x_1[/tex], og et lite tall [tex]\Delta x[/tex], slik at både [tex]x_1[/tex] og [tex]x_1 + \Delta x[/tex] er med i [tex]\[a\ ,\ b\][/tex]. Funksjonen [tex]F(x)[/tex] er da definert for disse tallene, og vi får:

(1) [tex]F(x_1) = \int_a^{x_1} f(t) dt[/tex]

(2) [tex]F(x_1 + \Delta x) = \int_a^{x_1 + \Delta x}\ f(t) dt[/tex]

Vi kan trekke (1) fra (2):

(3) [tex]F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_a^{x_1 + \Delta x}\ f(t) dt\quad - \quad \int_a^{x_1} f(t) dt[/tex]

Image

På illustrasjonen ser vi en blå funksjon. Det røde og grønne området til sammen er integralet fra a til [tex]x_1 + \Delta x[/tex], og det grønne området er integralet fra a til [tex]x_1[/tex]. Det røde og grønne området minus det grønne området blir lik det røde området, som da er integralet fra [tex]x_1[/tex] til [tex]x_1 + \Delta x[/tex].
Det betyr at

[tex]\int_a^{x_1 + \Delta x}\ f(t) dt\quad - \quad \int_a^{x_1} f(t) dt\quad = \quad \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt[/tex]

Dette kan vi sette inn i (3):

(4) [tex]F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \quad \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt[/tex]

Image

Så skal vi se på en setning som heter sentralverdisetningen. Vi vil finne integralet av den blå funksjonen på figuren, fra [tex]x_1[/tex] til [tex]x_1 + \Delta x[/tex]. Det følger av setningen at det da må finnes en konstant c som ligger et sted på x-aksen mellom [tex]x_1[/tex] og [tex]x_1 + \Delta x[/tex], slik at funksjonsverdien for c tilsvarer høyden i et rektangel som har samme areal som integralet.
Det ser vi også på funksjonen: Arealet av alt under den røde linja blir større enn integralet av funksjonen, alealet av alt under den grønne linja blir for lite. Kanskje den gule linja er omtrent den riktige. Uansett ser vi at det må finnes en konstant c, slik at toppen på rektangelet blir [tex]f(c)[/tex], og da blir arealet av rektangelet [tex]f(c) \cdot \Delta x[/tex]. Siden dette arealet er lik integralet, får vi at

[tex]\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt = f(c) \cdot \Delta x[/tex]

Og kombinert med (4) får vi

[tex]F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \cdot \Delta x[/tex]

Selv om [tex]\Delta x[/tex] er lite, er det fortsatt større enn null. Derfor kan vi dele på det, og det gjør vi nå.

[tex]\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c)[/tex]

Merk at venstre side ligner på definisjonen på derivasjon - det som står der heter "Newtons differenskvotient". Vi lar nå [tex]\Delta x[/tex] gå mot null:

[tex]\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} f(c)[/tex]

Nå har vi definisjonen på den deriverte på venstre side, altså har vi:

(5) [tex]F^\prime(x_1) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} f(c)[/tex]

Så skal vi bruke noe så artig som sandwich-teoremet for å finne grenseverdien til c. Det vi vet, er at [tex]c \in \[x_1\ ,\ x_1 + \Delta x\][/tex], og når [tex]\Delta x[/tex] går mot null, vil dette intervallet bli smalere og smalere - c blir rett og slett trykket flatt mellom [tex]x_1[/tex] og [tex]x_1 + \Delta x[/tex], som i en sandwich. Da blir

[tex]\lim_{\Delta x \rightarrow 0} c = x_1[/tex]

Altså er [tex]\lim_{\Delta x \rightarrow 0} f(c) = f(x_1)[/tex], og vi setter dette inn i (5):

[tex]F^\prime(x_1) = f(x_1)[/tex]

Det er nå bevist at hvis vi deriverer integralet av en funksjon, får vi den opprinnelige funksjonen. Derfor må vi antiderivere en funksjon for å finne integralene dens.
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Posts: 8552
Joined: 21/08-2006 03:46
Location: Grenland

En bra og forhåpentligvis lærerik "artikkel" for mange her inne, inkludert undertegnende
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
ingentingg
Weierstrass
Weierstrass
Posts: 451
Joined: 25/08-2005 17:49

sEirik wrote: Gitt at vi har en funksjon [tex]f(x)[/tex], som er definert og kontinuerlig i intervallet [tex]\[a\ ,\ b\][/tex]. Det finnes da nødvendigvis en funksjon [tex]F(x)[/tex] som gir integralet fra a til x:

[tex]F(x) = \int_a^x f(t) dt[/tex]
Dette stemmer ikkje helt.
Det finnes f.eks ingen enkel funksjon F som er slik at:
[tex]F(x) = \displaystyle\int_a^x e^{x^2}[/tex]

selv om funksjonen er kontinuerlig.

Det finnes og en mengde andre eksempler
sEirik
Guru
Guru
Posts: 1551
Joined: 12/06-2006 21:30
Location: Oslo

ingentingg wrote:Dette stemmer ikkje helt.
Det finnes f.eks ingen enkel funksjon F som er slik at:
[tex]F(x) = \displaystyle\int_a^x e^{x^2}[/tex]

selv om funksjonen er kontinuerlig.

Det finnes og en mengde andre eksempler
Helt riktig, det finnes ingen enkel antiderivert funksjon til [tex]e^{x^2}[/tex], og mange andre funksjoner. Men allikevel, funksjonen [tex]F(x) = \int_a^x e^{t^2} dt[/tex] er veldefinert. (den er jo definert ved selve integraloperasjonen jeg nettopp skrev!) Det at den er definert, betyr ikke nødvendigvis at den kan uttrykkes enkelt ved hjelp av addisjon/subtraksjon/multiplikasjon/divisjon/rottegn/logaritmer osv. Men den kan regnes ut for alle verdier, blant annet ved hjelp av ei konvergerende rekke. For bevisets skyld er det irrelevant om F(x) kan skrives enkelt. Er det flere her med mer erfaring og rutine enn meg som kan si noe om det?
ingentingg
Weierstrass
Weierstrass
Posts: 451
Joined: 25/08-2005 17:49

Gikk litt fort i svingen der, eg las ikkje alt så det blei litt feil svar. Er korrekt det du skriver og som du sier kan det være verdt å få med seg at F(x) ikkje trenger være mulig å skrive uten å bruke integrasjonstegn.

Forklaringen din av integrasjon og derivasjon er korrekt og veldig bra, men den er ikkje fullstendig. Problemet er at det er veldig vanskelig å vise hva Riemannintegrerbarhet innebærer uten å ha med endel teorem om lim, inf/sup, boundness osv.
ingentingg
Weierstrass
Weierstrass
Posts: 451
Joined: 25/08-2005 17:49

Hvis noen har lyst å lese mer om Riemannintegral (vanlig integrering) Er følgende link veldig god. Boka er beregnet på folk med 60++ stp matematikk fra universitet, men det kan jo være at noen skjønner litt.

http://www.math.ucdavis.edu/~emsilvia/m ... apter7.pdf

Fundamentalteoremene er gitt som theorem 7.2.2 og 7.2.3 på side 35. Det som står foran er det man "må" kunne for å forstå hva det handler om.
kalleja
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 292
Joined: 23/04-2006 02:57
Location: Trondheim

fin artikkel :) slik bør tas vare på, sticky!
Magnus
Guru
Guru
Posts: 2286
Joined: 01/11-2004 23:26
Location: Trondheim

ingentingg wrote:Gikk litt fort i svingen der, eg las ikkje alt så det blei litt feil svar. Er korrekt det du skriver og som du sier kan det være verdt å få med seg at F(x) ikkje trenger være mulig å skrive uten å bruke integrasjonstegn.

Forklaringen din av integrasjon og derivasjon er korrekt og veldig bra, men den er ikkje fullstendig. Problemet er at det er veldig vanskelig å vise hva Riemannintegrerbarhet innebærer uten å ha med endel teorem om lim, inf/sup, boundness osv.
Nå føler jeg egentlig ikke at sEirik prøver å bevise integralet her, men mer hva som er tanken og ideen bak det. Så alle disse teoremene ville blitt overflødig i sammenhengen.

Til sEirik: Fint:)
Post Reply