Det vi kaller derivasjon og integrasjon, heter også "Matematisk analyse", "Kalkulus", eller bare "Analyse". Innenfor denne grenen finnes det ett viktig teorem, det har fått et så fint navn som "Analysens fundamentalteorem". Dette teoremet sier at derivasjon og integrasjon er motsatte operasjoner, i den betydning at hvis man integrerer en funksjon, og så deriverer integralet, vil man få den opprinnelige funksjonen. Mange lurer kanskje på hvorfor i all verden man skal antiderivere integranden for å finne integralet, og hvordan dette kan ha noe som helst med areal å gjøre. Det er dette analysens fundamentalteorem gir en forklaring på.
Gitt at vi har en funksjon [tex]f(x)[/tex], som er definert og kontinuerlig i intervallet [tex]\[a\ ,\ b\][/tex]. Det finnes da nødvendigvis en funksjon [tex]F(x)[/tex] som gir integralet fra a til x:
[tex]F(x) = \int_a^x f(t) dt[/tex]
Vi kan for eksempel se på funksjonen [tex]g(x) = 5[/tex], som vi lar være definert i [tex]\[0\ ,\ 20\][/tex]. Med formelen for arealet at et rektangel vet vi at integralfunksjonen blir
[tex]G(x) = \int_0^x g(x) =[/tex] høyde ganger bredde på rektangelet [tex]= 5 \cdot x[/tex]
Vi lar det så finnes et tall [tex]x_1[/tex], og et lite tall [tex]\Delta x[/tex], slik at både [tex]x_1[/tex] og [tex]x_1 + \Delta x[/tex] er med i [tex]\[a\ ,\ b\][/tex]. Funksjonen [tex]F(x)[/tex] er da definert for disse tallene, og vi får:
(1) [tex]F(x_1) = \int_a^{x_1} f(t) dt[/tex]
(2) [tex]F(x_1 + \Delta x) = \int_a^{x_1 + \Delta x}\ f(t) dt[/tex]
Vi kan trekke (1) fra (2):
(3) [tex]F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_a^{x_1 + \Delta x}\ f(t) dt\quad - \quad \int_a^{x_1} f(t) dt[/tex]
På illustrasjonen ser vi en blå funksjon. Det røde og grønne området til sammen er integralet fra a til [tex]x_1 + \Delta x[/tex], og det grønne området er integralet fra a til [tex]x_1[/tex]. Det røde og grønne området minus det grønne området blir lik det røde området, som da er integralet fra [tex]x_1[/tex] til [tex]x_1 + \Delta x[/tex].
Det betyr at
[tex]\int_a^{x_1 + \Delta x}\ f(t) dt\quad - \quad \int_a^{x_1} f(t) dt\quad = \quad \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt[/tex]
Dette kan vi sette inn i (3):
(4) [tex]F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \quad \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt[/tex]
Så skal vi se på en setning som heter sentralverdisetningen. Vi vil finne integralet av den blå funksjonen på figuren, fra [tex]x_1[/tex] til [tex]x_1 + \Delta x[/tex]. Det følger av setningen at det da må finnes en konstant c som ligger et sted på x-aksen mellom [tex]x_1[/tex] og [tex]x_1 + \Delta x[/tex], slik at funksjonsverdien for c tilsvarer høyden i et rektangel som har samme areal som integralet.
Det ser vi også på funksjonen: Arealet av alt under den røde linja blir større enn integralet av funksjonen, alealet av alt under den grønne linja blir for lite. Kanskje den gule linja er omtrent den riktige. Uansett ser vi at det må finnes en konstant c, slik at toppen på rektangelet blir [tex]f(c)[/tex], og da blir arealet av rektangelet [tex]f(c) \cdot \Delta x[/tex]. Siden dette arealet er lik integralet, får vi at
[tex]\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt = f(c) \cdot \Delta x[/tex]
Og kombinert med (4) får vi
[tex]F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \cdot \Delta x[/tex]
Selv om [tex]\Delta x[/tex] er lite, er det fortsatt større enn null. Derfor kan vi dele på det, og det gjør vi nå.
[tex]\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c)[/tex]
Merk at venstre side ligner på definisjonen på derivasjon - det som står der heter "Newtons differenskvotient". Vi lar nå [tex]\Delta x[/tex] gå mot null:
[tex]\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} f(c)[/tex]
Nå har vi definisjonen på den deriverte på venstre side, altså har vi:
(5) [tex]F^\prime(x_1) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} f(c)[/tex]
Så skal vi bruke noe så artig som sandwich-teoremet for å finne grenseverdien til c. Det vi vet, er at [tex]c \in \[x_1\ ,\ x_1 + \Delta x\][/tex], og når [tex]\Delta x[/tex] går mot null, vil dette intervallet bli smalere og smalere - c blir rett og slett trykket flatt mellom [tex]x_1[/tex] og [tex]x_1 + \Delta x[/tex], som i en sandwich. Da blir
[tex]\lim_{\Delta x \rightarrow 0} c = x_1[/tex]
Altså er [tex]\lim_{\Delta x \rightarrow 0} f(c) = f(x_1)[/tex], og vi setter dette inn i (5):
[tex]F^\prime(x_1) = f(x_1)[/tex]
Det er nå bevist at hvis vi deriverer integralet av en funksjon, får vi den opprinnelige funksjonen. Derfor må vi antiderivere en funksjon for å finne integralene dens.
slik bør tas vare på, sticky!