Intergrasjon

[kalleja]

[symbol:integral] Cos^3x dx

[sEirik]

Kjører delvis.

$I=\int {\cos }^{3}xdx=\int \cos x\cdot {\cos }^{2}xdx$

$u^{\prime }=\cos x$ $v={\cos }^{2}x$

$u=\sin x$ $v^{\prime }=-2\cos x\cdot \sin x$

$I={\cos }^{2}x\cdot \sin x-\int -2(\cos x\cdot {\sin }^{2}x)dx$

$I={\cos }^{2}x\cdot \sin x+2J$

$J=\int \cos x\cdot {\sin }^{2}xdx$

Kjører substitusjon.

$u=\sin x$, $u^{\prime }=\cos x$

$J=\int u^{\prime }\cdot u^{2}dx=\int u^{2}du=\frac{1}{3}{u}^3+C=\frac{1}{3}{\sin }^{3}x+C$

Setter inn:

$I={\cos }^{2}x\cdot \sin x+\frac{2}{3}{\sin }^{3}x+C$

Så kan du evt. forenkle mer selv.

[ingentingg]

$$\begin{gathered} {\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x \\ {\cos }^{3}x=\cos x(1-{\sin }^{2}x) \\ u=\sin x \\ \frac{du}{dx}=\cos x \end{gathered}$$

[ingentingg]

Vil absolutt anbefale substitusjon slik som eg skrev. Den gir mykje mindre arbeid, selv om du delvis integrasjon og fører deg til mål.

[sEirik]

Det er klart, men alle veier fører til Rom
Dessuten var jeg først

[lasolas]

Er ikke [symbol:integral] cos^2x
lik [symbol:integral] (cosx)^2
som igjen gir omvendte kjerneregel som gir
1/3*(cosx)^3*sinx

Er ikke det rett formulert?!

[sEirik]

Du kan dessverre ikke bruke kjerneregelen omvendt på den måten. For integrasjon må du bruke variabelskifte.

[lasolas]

damnit, hvorfor ikke? :O
men cos^2x=(cosx)^2 ?

[sEirik]

Ja, det stemmer:

${\cos }^{2}x=(\cos x{)}^2$

Du kan ikke bruke kjerneregelen omvendt sånn, fordi det ikke er noe som tyder på at du kan det. Det blir som å hoppe i fallskjerm med et håndkle som fallskjerm og ikke vite helt sikkert om det vil fungere. Les om variabelskifte du, så skjønner du

[lasolas]

jammen
Jaja må vell lese om variabelskifte ser det ut til!

Men cos^2x=1-sin^2x
Da sitter jeg med det som det jeg skal integrere.
Hvis jeg da velger u som sinx får jeg
x-0.33(u)^3 jeg kan ikke se hvorfor jeg skal dele på noe da`?!

[sEirik]

du får $\int (1-u^2)dx$, og det integralet kan du ikke evaluere før du får bort dx og får inn du. Da må du få inn u' i bildet, som her blir cos x, og da får du ikke likningen over på riktig form. Men integralet av cos^3 kan du finne sånn, for da er jo cos en faktor.

[lasolas]

ja det jeg tenkte
men av ren nysgerrighet kan du løse (cosx)^2
?

[sEirik]

ja det jeg tenkte
men av ren nysgerrighet kan du løse (cosx)^2
?

Jupp.

$\int {\cos }^{2}x=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin 2x)+C$

Fremgangsmåte kommer en annen gang. Det du gjør er å skrive om, ved å bruke at

$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

[lasolas]

ja det jeg tenkte
men av ren nysgerrighet kan du løse (cosx)^2
?

Jupp.

$\int {\cos }^{2}x=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin 2x)+C$

Fremgangsmåte kommer en annen gang. Det du gjør er å skrive om, ved å bruke at

$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

Hehe jeg får vente på fremgangsmåten Hadde matte heldags idag og lurte bare på hvordan jeg skulle gjøre det , siden jeg gjorde feil på den oppgaven. Men trur det ellers gikk bra :p
btw takk for alle svar:)

[sEirik]

$I=\int {\cos }^{2}xdx$

$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)$

$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$

${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}$

Da får du

$I=\int (\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2})dx$

Da klarer du vel resten?