matriser

[mikael1987]

La A og B være to m*n matriser. Vis at A og B er rad ekvivalente hvis og bare hvis det finnes en invertabel m*m matrise C, slik at CA=B

[Solar Plexsus]

Vi har gitt at A og B er mxn-matriser. Da er følgende utsagn ekvivalente:

(1) A og B er radekvivalente.

(2) Det finnes en mxm-matrise C slik at CA = B.


Bevis:

(1) => (2): Anta at A og B to radekvivalente mxn-matriser. I så fall finnes det [tex]k[/tex] elementære mxm-matriser [tex]E_1, \, E_2, \ldots \, , E_k[/tex] slik at

[tex]B \;=\; E_k \cdots E_2 \, E_1 A.[/tex]

Alle elementære matriser er invertible. Altså er produktet av elementære matriser [tex]E_k \cdots E_2 \, E_1 \:=\: C[/tex] en invertibel mxm-matrise.


(2) => (1): Anta at A og B er mxn-matriser og C en invertibel mxm-matrise slik at CA = B. Siden C er invertibel, er C radekvivalent med identitetsmatrisen [tex]I_m.[/tex] Altså finnes det [tex]i[/tex] elementære mxm-matriser [tex]F_1, \, F_2, \cdots \, , F_i[/tex] slik at

[tex]C \;=\; F_i \cdots F_2 \, F_1 I_m \;=\; F_i \cdots F_2 \, F_1.[/tex]

I.o.m. at CA = B, må

[tex]F_i \cdots F_2 \, F_1 \, A \:=\: B.[/tex]

M.a.o. er A og B radekvivalente.


Dermed har vi bevist at (1) er ekvivalent med (2).