Binomial Teoremet

Hoppern · 23/01-2007 18:56

Hei

Jeg sliter med en oppgave.

Regn ut (x+y)(x+y)(x+y)(x+y)
Regn så ut koeffisientene for hvert leffi dette produktet ved hjelp av Binomial teoremet.

Og denne:

In the complete expansion of
(a+b+c+d)(e+f+g+h)(u+v+w+x+y+z) one obtains the sum of terms such as agw, cfx and dgv. How many such terms appear in this complete expansion.

Har lest og lest i læreboka, men sliter med å finne noe vettug forklaring til hvordan jeg kan løse dette.

Takker på forhånd for all hjelp og bistand jeg kan få.

daofeishi · 23/01-2007 19:17

Binomialteoremet sier at

{(a + b)}^{n} = (\binom{n}{0}) a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + (\binom{n}{2}) a^{n - 2} b^{2} + . . . = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

Dermed ser du at

(x + y)^{4} = (\binom{4}{0}) x^{4} + (\binom{4}{1}) x^{3} y + (\binom{4}{2}) x^{2} y^{2} + (\binom{4}{3}) x y^{3} + (\binom{4}{4}) y^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}

I det siste uttrykket ser du at det ikke finnes noen ledd som er gjentatt i hver parentes. Du utfører dermed 4*4*6 = 96 distinkte multiplikasjoner, som gir deg forskjellige ledd. Altså har du 96 ulike ledd i ekspansjonen. Er dette uklart?

Tommy H · 23/01-2007 19:28

Her er vel Pascals trekant en nyttig sak

Magnus · 23/01-2007 19:42

daofeishi wrote:Binomialteoremet sier at

${(a + b)}^{n} = (\binom{n}{0}) a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + (\binom{n}{2}) a^{n - 2} b^{2} + . . . = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}$

Dermed ser du at

$(x + y)^{4} = (\binom{4}{0}) x^{4} + (\binom{4}{1}) x^{3} y + (\binom{4}{2}) x^{2} y^{2} + (\binom{4}{3}) x y^{3} + (\binom{4}{4}) y^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}$

I det siste uttrykket ser du at det ikke finnes noen ledd som er gjentatt i hver parentes. Du utfører dermed 4*3*6 = 72 distinkte multiplikasjoner, som gir deg forskjellige ledd. Altså har du 72 ulike ledd i ekspansjonen. Er dette uklart?

Mener du ikke 4*4*6 ?

daofeishi · 24/01-2007 01:25

Jo, stemmer. En liten glipp der.

Hoppern · 24/01-2007 19:39

Tusen takk:D