Oppgåva er: Show that the sum of the n nth roots of unity is zero. Sånn eg tolker læreboka vil "roots og unity" sei røttene til 1. Ifølge gruppeleiaren min vil det sei noko anna enn 1, men eg får ikkje det heilt å harmonera, så har prøvd å rekna som om roots of unity er 1.
Men får altså ikkje oppgåva til.
Har satt opp [symbol:sum](cos(2(j-1)[symbol:pi]/n) + i*sin(2(j-1)[symbol:pi]/n)) kor j går frå 1 til n.
Ved å bruka addisjonsreglane for sin og cos på (j-1) og så rekna ut rekkene, får eg etter litt mellomrekning at svaret då blir cos([symbol:pi](n+1)) + 0i, som då blir enten -1 eller 1 avhengig av om n er partal eller oddetal. Og altså ikkje 0 som ein skulle visa.
Er sterkt usikker på om eg har rekna rett, sjølv om gruppeleiaren sa at eg hadde tenkt rett ang rekkene og rekna ut dei (Altså bruka at [symbol:sum]i frå i=1 til i=n er n(n+1)/2)
Håper nokon kan hjelpa meg med dette.
Summen av de n n-te komplekse røttene til 1
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
En litt mer kompakt form å skrive n-te røttene på er [tex]e^{k\cdot \frac{2\pi i}{n}}=(e^{\frac{2\pi i}{n}})^k,\;\;k=0,1,\dots,n-1[/tex] Hva slags rekke kan du lage deg?
Vel:
[tex]e^{\frac {2\pi\cdot k\cdot i}{\pi}} = cos(\frac {2\pi\cdot i\cdot k}{n}) + i\cdot sin(\frac {2\pi\cdot i\cdot k}{n})[/tex]
Nå kan du bare kaste inn verdier og regne ut. Er det slik du er vant ti å se det? Eller har dere ikke lært å skrive det på polarform ?
[tex]e^{\frac {2\pi\cdot k\cdot i}{\pi}} = cos(\frac {2\pi\cdot i\cdot k}{n}) + i\cdot sin(\frac {2\pi\cdot i\cdot k}{n})[/tex]
Nå kan du bare kaste inn verdier og regne ut. Er det slik du er vant ti å se det? Eller har dere ikke lært å skrive det på polarform ?
Sist redigert av Magnus den 25/01-2007 21:06, redigert 1 gang totalt.
Det stemmer at "roots of unity" er røttene til 1. (Eller kanskje mer korrekt, røttene til x[sup]n[/sup] - 1 = 0) Jeg vil tro at den enkleste måten å løse denne på er ved å skrive de komplekse tallene på polarform, som |z|e[sup]ix[/sup]. Beviset følger da av geometriske rekker. Jeg kan ikke skjønne at dette ikke er i boka, da det er en nokså elementær egenskap ved komplekse tall.
Ellers kan du jo også benytte deg av at nte-røttene tegner et regulært n-polygon i argand-planet sentrert rundt (0,0), og bruke vektorsummer.
Ellers kan du jo også benytte deg av at nte-røttene tegner et regulært n-polygon i argand-planet sentrert rundt (0,0), og bruke vektorsummer.
Sist redigert av daofeishi den 25/01-2007 21:08, redigert 1 gang totalt.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Det finnes en enkel måte å vise dette på. Har du en n-te gradslikning
[tex]x^n \:+\: a_{n-1}x^{n-1} \:+\: a_{n-2}x^{n-2} \:+\: \cdots \:+\: a_1x \:+\: a_0 \;=\; 0[/tex]
med [tex]n[/tex] (komplekse) røtter [tex]x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n[/tex], så er
[tex](1) \;\; -a_{n-1} \;=\; \sum_{i=1}^n \, x_i.[/tex]
Gitt at [tex]x_1, \, x_2, \, \ldots, x_n[/tex] de [tex]n > 1[/tex] enhetsrøttene, dvs. røttene i n-te gradslikningen [tex]x^n \: - \: 1 \:=\: 0.[/tex] Altså er [tex]a_{n-1} \:=\: 0.[/tex] Dermed følger det av (1) at
[tex]\sum_{i=1}^n \, x_i \;=\; 0. \;\;[/tex] q.e.d.
[tex]x^n \:+\: a_{n-1}x^{n-1} \:+\: a_{n-2}x^{n-2} \:+\: \cdots \:+\: a_1x \:+\: a_0 \;=\; 0[/tex]
med [tex]n[/tex] (komplekse) røtter [tex]x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n[/tex], så er
[tex](1) \;\; -a_{n-1} \;=\; \sum_{i=1}^n \, x_i.[/tex]
Gitt at [tex]x_1, \, x_2, \, \ldots, x_n[/tex] de [tex]n > 1[/tex] enhetsrøttene, dvs. røttene i n-te gradslikningen [tex]x^n \: - \: 1 \:=\: 0.[/tex] Altså er [tex]a_{n-1} \:=\: 0.[/tex] Dermed følger det av (1) at
[tex]\sum_{i=1}^n \, x_i \;=\; 0. \;\;[/tex] q.e.d.
Synes vel beviset med polar-representasjonen er penest. Det krever ingen ekstra kjennskap ang. antall røtter til polynom og relasjoner mellom disse og koeffisientene i polynomet( altså resultater som i seg selv bør bevises om personen ikke har gjort det før)