Hei..
Skal bruke teoremet:
La Ax=b være et lineært system. Hvis p er hvilken som helst partikulær løsning av Ax=b og h er en løsning av det korresponderende homogene systemet Ax=0, så er p + h en løsning av Ax=b. Alle løsninger av Ax=b har denne formen p + h, slik at den generelle løsningen er x = p + h, der Ah=0
Til å vise at ingen lineære likningsystemer har nøyaktig 2 løsninger..
Kan noen være så snill og forklare??
På forhånd takk.
Teorem
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Dette følger jo direkte av det faktum at et lineært likningssystem
(1) Ax = b
enten har ingen, nøyaktig en eller uendelig mange løsninger. For å bevise dette teoremet, antar man at likningssystemet (1) har mer enn en løsning. I.o.m. at (1) har løsningen x = p + h, må det tilhørende homogene likningssystemet
(2) Ax = 0
ha mer enn en løsning. M.a.o. finnes det en h [symbol:ikke_lik] 0 slik at Ah = 0. Da vil også x = kh være en løsning av (2) for enhver konstant k. Herav følger at
A(p + kh) = Ap + A(kh) = b + k(Ah) = b + k0 = b + 0 = b.
M.a.o. er x = p + kh også en løsning av (1). Ettersom k er en vilkårlig konstant, har likningssystemet (1) uendelig mange løsninger. q.e.d.
(1) Ax = b
enten har ingen, nøyaktig en eller uendelig mange løsninger. For å bevise dette teoremet, antar man at likningssystemet (1) har mer enn en løsning. I.o.m. at (1) har løsningen x = p + h, må det tilhørende homogene likningssystemet
(2) Ax = 0
ha mer enn en løsning. M.a.o. finnes det en h [symbol:ikke_lik] 0 slik at Ah = 0. Da vil også x = kh være en løsning av (2) for enhver konstant k. Herav følger at
A(p + kh) = Ap + A(kh) = b + k(Ah) = b + k0 = b + 0 = b.
M.a.o. er x = p + kh også en løsning av (1). Ettersom k er en vilkårlig konstant, har likningssystemet (1) uendelig mange løsninger. q.e.d.