[symbol:integral] xdx/3x^2+8x-3
Får ikke riktig svar. boken gjør noe rart med brøkuttryket i nevneren.
takker for forklaringer underveis...[/sub]
integrasjonsteknikk: delbrøksoppspaltning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det er vel dette boken din har gjort?
[tex] \int \frac{x}{3x^2+8x-3} {\rm d}x \qquad = \qquad \int \frac{x}{(3x-1)(x+3)} {\rm d}x \qquad = \qquad \int \frac{1}{10(3x-1)}+\frac{3}{10(x+3)}{\rm d}x[/tex]
Legg merke til at polynomet i nevneren kan faktoriseres til (3x-1)(x+3). Du har da følgende problem:
[tex]\frac{x}{(3x-1)(x+3)} = \frac{A}{(3x-1)} + \frac{B}{(x+3)}[/tex]
Som du løser ved å observere at
[tex]A(x+3) + B(3x-1) = x[/tex]
(Ser du hvorfor? Samle brøkene på høyre side i én brøk.)
Du finner da A og B ved å velge x slik at en av dem forsvinner ut av uttrykket.
Hvis x = -3, har vi:
[tex]A((-3) +3) + B(3(-3)-1) = -3 \Rightarrow B = \frac{3}{10}[/tex]
Hvis x = 1/3 har vi:
[tex]A(\frac{1}{3} + 3) + B(3(\frac{1}{3})-1) = \frac{1}{10} \Rightarrow A = \frac{1}{10}[/tex]
[tex]\int \frac{1}{10(3x-1)}+\frac{3}{10(x+3)}{\rm d}x \qquad = \qquad \frac{\ln|3x-1|}{30} + \frac{3\ln|x+3|}{10} + C[/tex]
[tex] \int \frac{x}{3x^2+8x-3} {\rm d}x \qquad = \qquad \int \frac{x}{(3x-1)(x+3)} {\rm d}x \qquad = \qquad \int \frac{1}{10(3x-1)}+\frac{3}{10(x+3)}{\rm d}x[/tex]
Legg merke til at polynomet i nevneren kan faktoriseres til (3x-1)(x+3). Du har da følgende problem:
[tex]\frac{x}{(3x-1)(x+3)} = \frac{A}{(3x-1)} + \frac{B}{(x+3)}[/tex]
Som du løser ved å observere at
[tex]A(x+3) + B(3x-1) = x[/tex]
(Ser du hvorfor? Samle brøkene på høyre side i én brøk.)
Du finner da A og B ved å velge x slik at en av dem forsvinner ut av uttrykket.
Hvis x = -3, har vi:
[tex]A((-3) +3) + B(3(-3)-1) = -3 \Rightarrow B = \frac{3}{10}[/tex]
Hvis x = 1/3 har vi:
[tex]A(\frac{1}{3} + 3) + B(3(\frac{1}{3})-1) = \frac{1}{10} \Rightarrow A = \frac{1}{10}[/tex]
[tex]\int \frac{1}{10(3x-1)}+\frac{3}{10(x+3)}{\rm d}x \qquad = \qquad \frac{\ln|3x-1|}{30} + \frac{3\ln|x+3|}{10} + C[/tex]
Sist redigert av daofeishi den 27/01-2007 19:17, redigert 48 ganger totalt.
Hei,
Forsto ikke helt framgangsmåten din. Svaret boken kommer fram til er (1/30) ln(abs(3x-1))+(3/10)ln(abs(x+3)).
men boken gjør noe med 2.gradslikningens røtter jeg ikke forstår.
røttene til denne er jo 1/3 og-3 noe som gir faktoriseringen (x-1/3)(x+3). Er det ikke mulig å løse integralet med brøk i faktoriseringen? Når jeg gjør dette blir i så fall svaret feil.
P.S Hvordan skriver man med matematiske symboler?
Forsto ikke helt framgangsmåten din. Svaret boken kommer fram til er (1/30) ln(abs(3x-1))+(3/10)ln(abs(x+3)).
men boken gjør noe med 2.gradslikningens røtter jeg ikke forstår.
røttene til denne er jo 1/3 og-3 noe som gir faktoriseringen (x-1/3)(x+3). Er det ikke mulig å løse integralet med brøk i faktoriseringen? Når jeg gjør dette blir i så fall svaret feil.
P.S Hvordan skriver man med matematiske symboler?
Jeg klarte å klikke "ok" før posten var ferdig. Les over igjen, og se om det gir mening.
For matematisk notasjon, se http://realisten.com/smf/index.php?topic=21.0
For matematisk notasjon, se http://realisten.com/smf/index.php?topic=21.0
[tex](3x-1)(x+3) = 3(x-\frac{1}{3})(x+3)[/tex]
Den 3eren er vel ikke utelatt i boken din?
Forskjellen i resultat grunner nok i at jeg faktoriserte uttrykket ved inspeksjon, mens boka fant røttene til uttrykket ved å løse likningen 3x[sup]2[/sup]+8x-3=0.
Den 3eren er vel ikke utelatt i boken din?
Forskjellen i resultat grunner nok i at jeg faktoriserte uttrykket ved inspeksjon, mens boka fant røttene til uttrykket ved å løse likningen 3x[sup]2[/sup]+8x-3=0.