Utregning av likninger med flere rot-uttrykk

[Findus]

Hei, jeg står litt fast på hvordan man går frem for å regne likninger med flere rot-uttrykk. Kunne noen vist meg fremgangsmåte for å regne f.eks dette stykket:

[tex]\sqrt{x+9}-\sqrt{x+2}=1[/tex]

Jeg er svært usikker på hvordan jeg skal kvadrere dette.

[sEirik]

(1) Kvadrer på begge sider slik likningen står nå, med 2. kvadratsetning på V.S. Da får du opphevet de to rotuttrykkene, mens du sitter igjen med produktet av de to rotuttrykkene.
(2) Flytt dette rotuttrykket for seg på den ene siden.
(3) Kvadrer på nytt for å få vekk det også.
(4) Husk å sjekke for falske løsninger til slutt.

[Findus]

Hei.

Jeg skjønner ikke helt hva du mener. Når jeg prøver å kvadrere ut ender jeg opp slik: (Jeg har sikkert gjort feil lenge før der jeg er kommet til nå)
[tex]\sqrt{x+9}-\sqrt{x+2}=1[/tex]

[tex](\sqrt{x+9}-\sqrt{x+2})^2=(1)^2[/tex]

[tex]x+9 - (2\sqrt{x+9}\sqrt{x+2}) + x+2=1[/tex]

[tex]2x+11-1=2*\sqrt{x+9}*\sqrt{x+2}[/tex]

[tex](2x+10)^2=(2*\sqrt{x+9}*\sqrt{x+2})^2[/tex]

Jeg må gjøre noe grunnleggende feil for dette kan vel ikke være rett kurs?

[Terminator]

( [symbol:rot] x+9) - ( [symbol:rot] x+2) = (1

[symbol:rot] x+9) = 1 + [symbol:rot] x+2

( [symbol:rot] x+9)^2 = (1 + ( [symbol:rot] x+2))^2

x + 9 = 1 + 2 [symbol:rot] x+2 + (x + 2)

x+9-x-2-1 = 2 [symbol:rot] x+2

3 = [symbol:rot] x+2

9 = x+2

x = 7

[sEirik]

Hei.

Jeg skjønner ikke helt hva du mener. Når jeg prøver å kvadrere ut ender jeg opp slik: (Jeg har sikkert gjort feil lenge før der jeg er kommet til nå)
[tex]\sqrt{x+9}-\sqrt{x+2}=1[/tex]

[tex](\sqrt{x+9}-\sqrt{x+2})^2=(1)^2[/tex]

[tex]x+9 - (2\sqrt{x+9}\sqrt{x+2}) + x+2=1[/tex]

[tex]2x+11-1=2*\sqrt{x+9}*\sqrt{x+2}[/tex]

[tex](2x+10)^2=(2*\sqrt{x+9}*\sqrt{x+2})^2[/tex]

Jeg må gjøre noe grunnleggende feil for dette kan vel ikke være rett kurs?

Du er på rett kurs her. Du har kommet frem til at

[tex](2x + 10)^2 = (2\sqrt{x+9} \cdot \sqrt{x+2})^2[/tex]

Husk at [tex](a \cdot b \cdot c)^2 = (a^2 \cdot b^2 \cdot c^2)[/tex]

Da får du

[tex](2x + 10)^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{x+9})^2 \cdot (\sqrt{x+2})^2[/tex]

[Findus]

Aha, det hadde gått langt letter hadde jeg husket:
[tex](a*b*c)^" = (a^2*b^2*c^2)[/tex] ja.

Men, nå står jeg litt fast igjen. Jeg er i det store og hele litt shaky på likninger med rotuttrykk:

[tex]\frac{\sqrt{x+2a^2} + \sqrt{5x-a^2}}{\sqrt{x+2a^2} - \sqrt{5x-a^2}} = -5[/tex]

Hva blir fremgangsmåten her? Eventuelt kunne det vært fint med en oppsummering av regler rundt regning med rotuttrykk i likninger, jeg fant nemlig ingen i 2mx-boken min (nettop begynt på 2mx-kveldskurs).

[sEirik]

[tex]\frac{\sqrt{x+2a^2} + \sqrt{5x-a^2}}{\sqrt{x+2a^2} - \sqrt{5x-a^2}} = -5[/tex]

Her er både a og x ukjente, går ut fra at det må bety at vi skal finne x uttrykt ved a eller noe sånt.

Den her kan du angripe på flere måter. Du kan multiplisere med nevner, kvadrere begge sider, og kvadrere og kvadrere inntil alle rotuttrykkene er borte, det er en grei måte å løse likninger "med makt" på. Jeg velger en annen metode.

Litt substitusjon for enkelhets skyld:

[tex]U = x + 2a^2[/tex], [tex]V = 5x - a^2[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{U}+\sqrt{V}}{\sqrt{U}-\sqrt{V}} = -5[/tex]

Utvider brøken i V.S. ved å multiplisere med [tex]\sqrt{U}-\sqrt{V}[/tex] oppe og nede.

[tex]\frac{(\sqrt{U}+\sqrt{V})(\sqrt{U}-\sqrt{V})}{(\sqrt{U}-\sqrt{V})(\sqrt{U}-\sqrt{V})} = -5[/tex]

Med konjugatsetningen kan vi faktorisere teller. ([tex](a+b)(a-b) = a^2 - b^2[/tex])

[tex]\frac{U - V}{(\sqrt{U}-\sqrt{V})^2} = -5[/tex]

Nå satser jeg på å flytte opp nevner. (Multipliserer med den altså)

[tex]U - V = -5(\sqrt{U}-\sqrt{V})^2[/tex]

[tex]U - V = -5(U - 2\sqrt{U}\sqrt{V} + V)[/tex]

[tex]U - V = -5U + 10\sqrt{UV} - 5V[/tex]

[tex]10\sqrt{UV} = U - V + 5U + 5V[/tex]

[tex]10\sqrt{UV} = 6U - 4V[/tex]

Så er det bare å kvadrere...

[tex]100UV = 36U^2 - 48UV + 16V^2[/tex]

Du får prøve litt selv herfra.