Vektorer i R^n

[mikael1987]

Har matrisen:
A=

1 -3 5 2
-3 9 -7 2
2 -6 1 -5

Radreduseres til :

1 -3 0 -3
0 0 1 1
0 0 0 0

Skal finne ut om {v1,v2,v3,v4} utspenner hele R^3?? Finn basisen for det rommer vektorene utspenner.
Jeg finner ut v2 og v4 er lineært avhengige,og derfor ikke skal være med i basisen, fordi v2=-3v1 og v4=-3v1+v2.
Men de to siste kan vel ikke utspenne hele R^3??

[mrcreosote]

For å utspenne hele R^n må du ha minst n vektorer, så som du sier utspenner ikke v_1 og v_3 R^3. De vil imidlertid lage et underrom av R^3.

a(1,0,0)+b(0,1,0)=(a,b,0), så v_1 og v_3 gir et underrom som har vilkårlige x- og y-koordinater og z=0. Dette er isomorft med R^2, altså det vanlige planet.

[mikael1987]

Okai...
Men feks. du har 5 vektorer som utspenner et 5-dim rom. Radreduserer matrisen som disse 5 vektorene gir. Da står man feks igjen med 4 uavhengige vektorer. Vil det si at disse 4 vektorene utgjør en basis for det 4-dim underrommet i det 5-dim rommet??

[mrcreosote]

Det stemmer nesten helt; pass bare på at det utgjør en basis for ett av underromma til R^5, det har nemlig mange. For eksempel vil (0,1) og (1,0) være basis for hvert sitt underrom av R^2.