Lineær transformasjon

[mikael1987]

Lurte egentlig på hva en lineær transformasjon er..
Feks:
Er T([x1,x2,x3])=[x1+x2,x1-3x2] en lineær transformasjon?? R^3-->R^2
Hva betyr egentlig dette?? Geometrisk??

[mikael1987]

Noen som har noen tips?

[sEirik]

En lineær transformasjon er vel enkelt sagt en funksjon som oppfyller kravene

[tex]f(X + Y) = f(X) + f(Y)[/tex]

[tex]f(aX) = a \cdot f(X)[/tex]

Det du må gjøre for å finne ut om en transformasjon er lineær eller ikke, er å sjekke om disse kravene holder.

[Janhaa]

Noen som har noen tips?

Kilde NTNU;

Egenskaper til lineære transformasjoner,: en lineær transformasjon T: Rn-->Rm er 1-1, nemlig at for hver y i bildet finnes nøyaktig en x i definisjonsmengden slik at T(x)=y. Videre kalles en lineær transformasjon T: Rn-->;Rm på, det vi si at bildet er hele Rm, dersom for hver y i Rm finnes minst en x i definisjonsmengden slik at T(x)=y. Eksemplevis er en rotasjon i R2 både 1-1 og på, mens projeksjonene i R3 ned på xy-planet er hverken 1-1 eller på.
Teorem: Dersom T: Rn-->;Rn er en lineær operator så er følgende ekvivalent:
Standardmatrisen [T] til T er inverterbar.
T er 1-1.
Bildet til T er hele Rn, med andre ord er T på.

En lineær transformasjon T: Rn→Rm kan beskrives som å multiplisere en kolonnevektor x i Rn med en mxn matrise. Denne matrisen kalles standardmatrisen til T og vi har notasjonen [T]. Omvendt - dersom A er en matrise, så betegner vi den lineære transformasjonen å multiplisere med A ved TA.
Eksempler lineære transformasjoner:
nulltransformasjonen,
identitetsoperatoren,
refleksjonsoperatorer,
projeksjonsoperatorer,
rotasjonsoperatorer og
skaleringsoperatorer.
En kan sette sammen lineære transformasjoner. Dersom T1: Rn→Rk og T2: Rk→Rm, så kan vi definere T2∘T1 ved T2∘T1(x) = T2(T1(x))
Merk at sammensetning tilsvarer matrisemultiplikasjon, og at sammensetningens rekkefølge er vesentlig.

[tex]R^3\rightarrow R^2\;[/tex]kan være avbilding fra en koordinat (x, y, z) på kube til en koordinat (x, y) i planet.

Og sjekk med krava sEirik skrev...