Total sannsynlighet & Bayes Setning: Løgndetektor

Teds · 14/02-2007 15:53

Hei!

Jeg sliter med en sannsynlighetsoppgave her og håper noen der ute kunne hjulpet meg. Jeg skal prøve å forklare så godt jeg kan så får dere spørre om det er noe dere ikke skjønner:

Oppgaven lyder som følger:

Løgndetektor:

- Hvis en person lyver, er det 88% sannsynlig at løgndetektoren vil avsløre dette.
- Hvis en person snakker sant, er det 14% sannsynlig at løgndetektoren vil indikere at personen lyver.

Spørsmålet lyder følgende:

"Et vitne i en kriminalsak testes med en løgndetektor. Testen indikerer at vitnet lyver. Hva er sannsynligheten for at vitnet virkelig lyver hvis sannsynligheten for at vitnet snakker sant, er.....
1. 1% | 1. 50% | 3. 99%

Jeg vil ikke ha noe svar, men en hjelpende hånd på veien..

------

Jeg har jo lært at man kan sette opp A og B, men hvordan?

Mvh. Ole Martin Haugesten.

Karl_Erik · 14/02-2007 17:22

Se på det sånn. En gitt person kan enten lyve eller snakke sant. Det er ingen mellomting. (Med mindre du er politiker, da...) Da ser jo oversiktene unektelig rare ut, fordi 88+14 blir 102, og 12+86 blir 98-noe som tyder på at hvis løgndetektoren ikke slår inn, vil personen i 2% av tilfellene verken lyve eller ikke. Altså kan vi ikke gå ut i fra dem.

Hvis sjansen for at vitnet snakker sant er 1%, ser vi på det sånn. I 1/100 * 14/100 tilfeller vil løgndetektoren vise at personen lyver mens han snakker sant. I 99/100 * 88/100 tilfeller vil den vise at han lyver selv om dette ikke er tilfellet. Altså vil løgndetektoren si ifra i 8726/10000 tilfeller. 14 av disse er tilfeller hvor vitnet snakker sant, mens de 8712 andre er tilfeller hvor han faktisk lyver. Siden vi vet at løgndetektoren har sagt at han lyver, og at i bare 14/8726 tilfeller hvor den sier at han lyver snakker han faktisk sant, burde dette bli svaret på oppgaven. Hvis jeg ikke tar helt feil, da.

EDIT: Hvis du vil bruke Bayes' setning på denne, ser vi på sjansen for A, som er at han snakker sant. Den er 0.01. Sjansen for B, at løgndetektoren viser at han lyver, er 0,14*0,01 (tilfellene hvor han snakker sant, men den likevel sier i fra) + 0,88*0,99 =. Sjansen for B gitt A, altså sjansen for at den viser at han lyver gitt at han snakker sant, er 0,14. Altså er svaret vi vil fram til, A gitt B, 0,14*0,01 / 0,8726.