Vektorrom

[thunderstone]

Bestem om

Settet med komplekse tall C,som er
C={a+b [symbol:rot] (-1)|a,b i R}

med vanlig addisjon av komplese tall og skalar multiplikasjon definert:
r(a+b [symbol:rot] (-1))=ra+rb [symbol:rot] (-1) for alle tall a,b,r i R

Er et virkelig vektorreom...

[daofeishi]

Jeg skriver [symbol:rot] (-1) som i.

Vi er altså gitt
[tex]C = \{ a+bi \ | \ a, b \in \mathbb R \}[/tex]
under vanlig addisjon og skalarmultiplikasjon.

Etter mine notater gjelder for et vektorrom:

ADDISJON
a) Settet er lukket under addisjon
Dette stemmer, siden (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i, der (a+c) og (b+d) er reelle tall, og derfor er i C.

b) Addisjon er kommutativ
Stemmer. (a+bi) + (c+di) = (c+di) + (a+bi)

c) Addisjon er assosiativ
Stemmer. [(a+bi) + (c+di)] + (e + fi) = (a+bi) + [(c+di) + (e + fi)]

d) Det eksisterer et identitetselement 0 under addisjon.
Dette eksisterer, og korresponderer til 0 + 0i

e) For ethvert element i settet eksisterer et invers element under addisjon.
Dette eksisterer. For a + bi har vi invers -a -bi.

SKALARMULTIPLIKASJON
a) Settet er lukket under skalarmultiplikasjon
Stemmer. k(a + bi) = ka + kbi, der ka og kb er reelle tall.

b) Det eksisterer et multiplikativt identitetselement 1
Dette eksisterer, og korresponderer til 1.

c) Rekkefølge på multiplikasjonsoperasjoner er likegyldig.
Stemmer. km(a + bi) = mk(a + bi)

d) Multiplikasjon er distributiv over addisjon
Stemmer. k[(a+bi) + (c+di)] = k(a+bi) + k(c+di)


Dermed er C et virkelig 2-vektorrom.

[thunderstone]

Takker for svaret..
Men har kommet til et nytt problem..

Bestem om den gitte funksjonen T er en lineær transformasjon. Er den det, beskriv (the kernel) av T og bestem om transformasjonen er invertibel.

T:F-->R definert ved T(f)=f(-4)

[thunderstone]

T:F-->R definert ved T(f)=f(-4)

T(f+g)=(f+g)(-4)=f(-4)+g(-4)=T(f)+T(g)

T(rf)=(rf(-4))=rf(-4)=rT(f)

Dvs det er en lineær transformasjon..
Men så skal jeg beskrive (the kernel) som er nullrommet??
En lin.trans T:V-->V` er invertibel hvis den er 1-1 og på (onto) V``..men i boken min står det at en lin.trans er 1-1 hvis og bare hvis ker(T)={0}.
Men hvordan finner jeg da kernelen til den lin.trans ovenfor??
Er det rett det som jeg skriver ovenfor??

[daofeishi]

Jeg håper ikke jeg tar meg vann over hodet nå, siden dette ikke inngår i læreplanen min, men etter det jeg kan forstå:

En lineær transformasjon T er invertibel kun dersom den er en bijeksjon (altså "one to one" og "onto"), noe som er en selvfølge fra vanlig funksjonslære. Ker(T) er settet av alle elementer som er transformert av T til 0-vektoren i V'. Dersom ikke T transformerte kun en vektor i V til nullvektoren i V', ville ikke T være invertibel, siden den inverse transformasjonen ikke ville være en bijeksjon (transformasjonen ville da være one to many). Vi kan se at bare ett element vil være transformert til en 0-vektor ved T(f) = -4f, og dette er f=0. Dermed er Ker(T) = {0}, og T er invertibel.

Med forbehold om feil.

[thunderstone]

T:P_3--->R^4

T(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=(0,a_1,2a_2,3a_3)

Bestem kerT..