To stokastiske variabler [tex]X[/tex] og [tex]Y[/tex] er normalfordelt, med forventningsferdier hhv. [tex]E(X)[/tex] og [tex]E(Y)[/tex], og standardavvik [tex]SD(X)[/tex] og [tex]SD(Y)[/tex].
La [tex]Z = X + Y[/tex].
Matteboka mi påstår at det kan vises at [tex]Z[/tex] er normalfordelt.
Gitt den opplysningen er det enkelt å vise at [tex]E(Z) = E(X) + E(Y)[/tex] og [tex]SD(Z) = \sqrt{SD(X)^2 + SD(Y)^2}[/tex].
Men hvordan kan man vise at [tex]Z[/tex] er normalfordelt?
Sum av normalfordelinger
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hvis [tex]X[/tex] og [tex]Y[/tex] er uavhengige med sannsynlighetstettheter hhv [tex]f[/tex] og [tex]g[/tex], kan man vise at sannsynlighetstettheten til [tex]X+Y[/tex] er gitt ved det såkalte konvolusjonsproduktet
[tex]h(t)=\int_{-\infty}^\infty f(t-y)g(y)dy[/tex]
Denne formelen vises ved å ta utgangspunkt i fordelingsfunksjonen
[tex]H(t)=P(X+Y<t)=P(X<t-Y)[/tex]
Ved dobbeltintegrasjon av den infinitesimale sannsynlighetsmassen
[tex]d^2H=f(x)g(y)dxdy[/tex] over området under linja [tex]x=t-y[/tex] finner en at
[tex]H(t)=\int_{-\infty}^\infty F(t-y)g(y)dx[/tex], slik at
[tex]h(t)=\int_{-\infty}^\infty f(t-y)g(y)dy[/tex].
Etter dette kan man putte inn for [tex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}[/tex] og
[tex]g(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}e^{-\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}[/tex] i konvolusjonsproduktet. Dette blir en ganske omfattende og litt "grisete" regning, og det er lønnsomt å vite hva man skal fram til for å se at dette virkelig blir tettheten til en normalfordelt variabel med forventning [tex]\mu_1+\mu_2[/tex] og varians [tex]\sigma_1^2+\sigma_2^2[/tex].
[tex]h(t)=\int_{-\infty}^\infty f(t-y)g(y)dy[/tex]
Denne formelen vises ved å ta utgangspunkt i fordelingsfunksjonen
[tex]H(t)=P(X+Y<t)=P(X<t-Y)[/tex]
Ved dobbeltintegrasjon av den infinitesimale sannsynlighetsmassen
[tex]d^2H=f(x)g(y)dxdy[/tex] over området under linja [tex]x=t-y[/tex] finner en at
[tex]H(t)=\int_{-\infty}^\infty F(t-y)g(y)dx[/tex], slik at
[tex]h(t)=\int_{-\infty}^\infty f(t-y)g(y)dy[/tex].
Etter dette kan man putte inn for [tex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}[/tex] og
[tex]g(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}e^{-\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}[/tex] i konvolusjonsproduktet. Dette blir en ganske omfattende og litt "grisete" regning, og det er lønnsomt å vite hva man skal fram til for å se at dette virkelig blir tettheten til en normalfordelt variabel med forventning [tex]\mu_1+\mu_2[/tex] og varians [tex]\sigma_1^2+\sigma_2^2[/tex].