Når man lager en fortegnslinje, er det da noe som sier om hvilke x-verdier som er toppunkter, og hvilke x-verdier som er bunnpunkter?
F.eks hvis man skal finne topp og bunn punktene til grafen
[tex]f(x)=x^3+2x^2+x[/tex]
Da deriverer man den:
[tex]f^\prime(x)=3x^2+4x+1[/tex]
Så finner man hvilke x-verdier som gjør denne til 0.
[tex]x = -\frac{1}{3}[/tex]
[tex]x = -1[/tex]
Da setter man inn i et fortegnsskjema at:
(x+1) blir 0 i -1
(x+(1\3)) blir 0 i -(1\3)
Og så setter man opp en skisse over grafen med topp og bunnpunkt. Men hvordan vet man hvor den synker, og hvor den stiger, uten å gjøre flere beregninger enn dette? Må man virkelig sjekke grafen for å se om det stiger eller synker?
Man må vel sjekke Y-koordinaten før man kan si noe om det er topp, eller bummpunkt vel?
Fortegnslinje
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Går ut fra at du har tegnet fortegnsskjema.
Da skal du ha fått at f'(x) er positiv i [tex]\<\leftarrow\ ,\ -1\>[/tex], negativ i [tex]\<-1\ ,\ -\frac{1}{3}\>[/tex] og positiv i [tex]\<-1\ ,\ \rightarrow\>[/tex].
Husk at f(x) stiger når f'(x) > 0. f(x) synker når f'(x) < 0. Tenk skibakke nå. Det betyr at f(x) stiger, oppoverbakke, helt frem til -1, der stopper helningen. Så synker f(x) frem til -1/3, der stopper helningen igjen, og så stiger den resten.
Det er logisk at når grafen går fra å stige, til å stoppe helningen, til så å synke, så har du et toppunkt. Tenk skibakke. Tilsvarende for bunnpunkt.
Ved -1 går frafen fra å stige til å synke, altså har du et toppunkt.
Ved -1/3 går grafen fra å synke til å stige, et bunnpunkt.
Da skal du ha fått at f'(x) er positiv i [tex]\<\leftarrow\ ,\ -1\>[/tex], negativ i [tex]\<-1\ ,\ -\frac{1}{3}\>[/tex] og positiv i [tex]\<-1\ ,\ \rightarrow\>[/tex].
Husk at f(x) stiger når f'(x) > 0. f(x) synker når f'(x) < 0. Tenk skibakke nå. Det betyr at f(x) stiger, oppoverbakke, helt frem til -1, der stopper helningen. Så synker f(x) frem til -1/3, der stopper helningen igjen, og så stiger den resten.
Det er logisk at når grafen går fra å stige, til å stoppe helningen, til så å synke, så har du et toppunkt. Tenk skibakke. Tilsvarende for bunnpunkt.
Ved -1 går frafen fra å stige til å synke, altså har du et toppunkt.
Ved -1/3 går grafen fra å synke til å stige, et bunnpunkt.
Ja jeg forstår dette her, og jeg har egentlig ikke noe problem med oppgaven..
Når du skriver,
Når du skriver,
går jeg ut ifra at man har testet dette med et tilfeldig tall på forhånd, eller sjekker grafen for å sjekke om det stemmer.Husk at f(x) stiger når f'(x) > 0. f(x) synker når f'(x) < 0.
Nei, det er en akseptert regel.
Tenk deg en bil som kjører på en rett vei med et hus ved den ene enden, bilen kjører vekk fra huset. En funksjon f(x) angir hvor langt den har kjørt vekk fra huset ved tiden x. Den deriverte, f'(x) er da farten til bilen.
Sett at farten er 40 km/t. Det betyr at farten er positiv. Sant? Det medfører at bilen flytter seg vekk fra huset, altså øker avstanden til huset, altså øker f(x). Dette viser at når f'(x) er positiv, så øker f(x).
Tenk deg at farten er lik 0 på et tidspunkt. Det betyr jo at bilen står stille.
Den beveger seg ikke frem, og ikke tilbake. Det betyr at f(x) har den samme verdien når x øker bortover, når f'(x) = 0.
Bilen setter så giret i revers, og rygger. Den får da farten -10 km/t. Den deriverte, altså farten, er negativ. Bilen nærmer seg nå huset igjen, altså minker avstanden til huset. Det betyr at f(x) minker når f'(x) er negativ.
Greit nok forklart?
Tenk deg en bil som kjører på en rett vei med et hus ved den ene enden, bilen kjører vekk fra huset. En funksjon f(x) angir hvor langt den har kjørt vekk fra huset ved tiden x. Den deriverte, f'(x) er da farten til bilen.
Sett at farten er 40 km/t. Det betyr at farten er positiv. Sant? Det medfører at bilen flytter seg vekk fra huset, altså øker avstanden til huset, altså øker f(x). Dette viser at når f'(x) er positiv, så øker f(x).
Tenk deg at farten er lik 0 på et tidspunkt. Det betyr jo at bilen står stille.
Den beveger seg ikke frem, og ikke tilbake. Det betyr at f(x) har den samme verdien når x øker bortover, når f'(x) = 0.
Bilen setter så giret i revers, og rygger. Den får da farten -10 km/t. Den deriverte, altså farten, er negativ. Bilen nærmer seg nå huset igjen, altså minker avstanden til huset. Det betyr at f(x) minker når f'(x) er negativ.
Greit nok forklart?
Ville du si du kunne tegne den rette skissen på fortegnslinjen ved kun å vite hvilke nullpunkter en graf har? Du kan vel ikke bare ved hjelp av det se at det ikke er et bunnpunkt eller toppunkt eller et stasjonært punkt uten å teste det i den deriverte formelen?
Hvis du kan, hva sier regelen for dette da?
du vet at [tex]f^\prime(x) = -6x^2-6x+36 [/tex]
og dermed at
[tex]x=-3[/tex]
[tex]x=2[/tex]
Hva er regelen som sier at den stiger eller synker mellom disse punktene, og på hver side av dem.
Jeg mener det er dårlig forklart i læreboka Sinus 1T, eller så har jeg misforstått noe.
Forresten, hvis det kom opp noe misforståelser underveis er problemet hvordan man skal tegne fortegnslinjen, og ikke hvordan man skal tolke den.
Hvis du kan, hva sier regelen for dette da?
du vet at [tex]f^\prime(x) = -6x^2-6x+36 [/tex]
og dermed at
[tex]x=-3[/tex]
[tex]x=2[/tex]
Hva er regelen som sier at den stiger eller synker mellom disse punktene, og på hver side av dem.
Jeg mener det er dårlig forklart i læreboka Sinus 1T, eller så har jeg misforstått noe.
Forresten, hvis det kom opp noe misforståelser underveis er problemet hvordan man skal tegne fortegnslinjen, og ikke hvordan man skal tolke den.
Åja, ny læreplan
Dere lærer vel at dere bare skal "teste" om en funksjon er negativ i et intervall, i stedet for å sette opp fullstendig fortegnsskjema? I så fall er det jo bare å teste i vei.
Et eller annet fjernt teorem sier at hvis du har en kontinuerlig funksjon, så kan den ikke gå fra å være negativ til å bli positiv, eller omvendt, uten å krysse x-aksen, altså at funksjonen er lik null. Det er logisk.
Altså, når du vet nullpunktene, så vet du at funksjonen enten er negativ eller positiv innenfor intervallet mellom nullpunktene, og da kan du teste for å sjekke om den er det.
Dere lærer vel at dere bare skal "teste" om en funksjon er negativ i et intervall, i stedet for å sette opp fullstendig fortegnsskjema? I så fall er det jo bare å teste i vei.
Et eller annet fjernt teorem sier at hvis du har en kontinuerlig funksjon, så kan den ikke gå fra å være negativ til å bli positiv, eller omvendt, uten å krysse x-aksen, altså at funksjonen er lik null. Det er logisk.
Altså, når du vet nullpunktene, så vet du at funksjonen enten er negativ eller positiv innenfor intervallet mellom nullpunktene, og da kan du teste for å sjekke om den er det.
Ah, ja. 
Endelig godkjenningen jeg ventet på. I boka så gikk de videre uten mye omtanke på hvordan de tegnet fortegnskjemaet. Det virker som om man uten videre skulle vite om den steg eller sank mellom punktene. Men jeg går ut ifra at man må teste dette enten med tall, eller sjekke grafen på kalkulator.
Endelig godkjenningen jeg ventet på. I boka så gikk de videre uten mye omtanke på hvordan de tegnet fortegnskjemaet. Det virker som om man uten videre skulle vite om den steg eller sank mellom punktene. Men jeg går ut ifra at man må teste dette enten med tall, eller sjekke grafen på kalkulator.