Integrasjon

[kjest]

f(t) = ( (thetta^−)(1t^−(thetta+1)/thetta)), for 1<t
0, for t < 1
der 0<thetta<0.5 er en parameter

skal integrere uttrykket over intervallet fra 1 til uendelig.
Vil noen gi meg et hint om hva jeg skal gjøre, har prøvd litt for mange ganger uten å få rett svar....[/list][/code] [symbol:integral]

[Solar Plexsus]

Er det

[tex]\int_1^{\infty} f(t) \, dt[/tex]

du skal beregne der

[tex]f(t) \; = \; {\textstyle \frac{1}{\theta}} \: t^{\small -\frac{1 + \theta}{\theta}}?[/tex]

[kjest]

jepp

[al-Khwarizmi]

Noen konstruktive forslag til dette integralet?

[Solar Plexsus]

Ved å benytte integrasjonsformelen [tex]\int t^k\, dt \;=\; \frac{t^{k+1}}{k+1} \,+\, C[/tex] når [tex]k[/tex] er en konstant [tex]\neq[/tex] -1, får vi at

[tex]I \;=\; \int_1^{\infty} f(t) \, dt \;=\; {\textstyle \frac{1}{\theta}} \int_1^{\infty} t^{-1 - {\small \frac{1}{\theta}}} \, dt \;=\; \big[- t^{- {\small \frac{1}{\theta}}} \big]_1^{\infty}.[/tex]

Nå er [tex]\theta \in (0,{\small -\frac{1}{2}})[/tex], som igjen innebærer at [tex]{\small -\frac{1}{\theta}} \in (-2,0).[/tex] Altså blir

[tex]I \;=\; \lim_{t \rightarrow \infty} \, -t^{- {\small \frac{1}{\theta}}} \; - \; (- 1^{- {\small \frac{1}{\theta}}}) \;=\; 0 \:-\: (- 1) \;=\; 1.[/tex]