Hvordan regner man ut følgende der det er opphøyd i forskjellige tall over og under brøkstreken:
lim x^2 - 2x
x->∞ x^3 - 1
Svaret skal visstnok bli 0.
Håper på oppklarende svar!
Grenseverdier
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Dersom du har 0/0 eller [symbol:uendelig]/[symbol:uendelig] i en grenseverdi, løser det seg som oftest med L'Hôpitals regel.
Du kjenner den antakeligvis. Dersom følgende grenseverdi går mot 0/0 eller [symbol:uendelig]/[symbol:uendelig]:
[tex] \lim _{x \rightarrow a} \ \frac{f(x)}{g(x)}[/tex]
gjelder:
[tex] \lim _{x \rightarrow a} \ \frac{f(x)}{g(x)} \qquad = \qquad \lim _{x \rightarrow a} \ \frac{f ^\prime (x)}{g ^\prime (x)}[/tex]
Du kjenner den antakeligvis. Dersom følgende grenseverdi går mot 0/0 eller [symbol:uendelig]/[symbol:uendelig]:
[tex] \lim _{x \rightarrow a} \ \frac{f(x)}{g(x)}[/tex]
gjelder:
[tex] \lim _{x \rightarrow a} \ \frac{f(x)}{g(x)} \qquad = \qquad \lim _{x \rightarrow a} \ \frac{f ^\prime (x)}{g ^\prime (x)}[/tex]
[tex] \lim _{x \rightarrow \infty} \ \frac{x^2 -2x}{x^3 -1}[/tex]
Man kan også løse det slik, uten L'Hôpitals regel:
[tex] \lim _{x \rightarrow \infty} \ \frac{x^2 -2x}{x^3 -1} \ \cdot \ \frac{\frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x^3}[/tex]
[tex] \lim _{x \rightarrow \infty} \ \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^3}} = 0[/tex]
Man kan også løse det slik, uten L'Hôpitals regel:
[tex] \lim _{x \rightarrow \infty} \ \frac{x^2 -2x}{x^3 -1} \ \cdot \ \frac{\frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x^3}[/tex]
[tex] \lim _{x \rightarrow \infty} \ \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^3}} = 0[/tex]