En liten utfordring i helgen:
Dersom [tex]f(x) = x^n[/tex] så er [tex]f^,(x) = nx^{n-1}[/tex]
Greier noen beviset ?
(jeg vet at dette ligger langt under nivået til mange her, men dette er også en side for ungdomsskole og videregåede, men det er selvsagt lov for alle å bidra.)
Fortsatt god helg.
Mvh
Kenneth
Potensderivasjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Beviset gjelder for alle positive x og alle reelle n.
[tex]f(x) = x^n[/tex]
Pr. definisjon er [tex]x = e^{\ln (x)}[/tex]
[tex]f(x) = (e^{\ln (x)})^n = e^{\ln (x) \cdot n}[/tex]
Vi har også at
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} e^u = e^u \cdot \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}[/tex]
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} f(x) = e^{\ln (x) \cdot n} \cdot \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} (\ln (x) \cdot n)[/tex]
Vi vet at
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} (\ln (x) \cdot n) = \frac{n}{x}[/tex]
Altså er
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} f(x) = e^{\ln (x) \cdot n} \cdot \frac{n}{x} = x^n \cdot \frac{n}{x} = nx^{n-1}[/tex]
Q.E.D.
Vi vet at x også kan være negativ så lenge n er et naturlig tall. Denne delen av beviset kan gjøres ved induksjon og produktsetningen. Hvem vil prøve seg på det?
[tex]f(x) = x^n[/tex]
Pr. definisjon er [tex]x = e^{\ln (x)}[/tex]
[tex]f(x) = (e^{\ln (x)})^n = e^{\ln (x) \cdot n}[/tex]
Vi har også at
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} e^u = e^u \cdot \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}[/tex]
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} f(x) = e^{\ln (x) \cdot n} \cdot \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} (\ln (x) \cdot n)[/tex]
Vi vet at
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} (\ln (x) \cdot n) = \frac{n}{x}[/tex]
Altså er
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} f(x) = e^{\ln (x) \cdot n} \cdot \frac{n}{x} = x^n \cdot \frac{n}{x} = nx^{n-1}[/tex]
Q.E.D.
Vi vet at x også kan være negativ så lenge n er et naturlig tall. Denne delen av beviset kan gjøres ved induksjon og produktsetningen. Hvem vil prøve seg på det?
[tex]f^,(x) = \lim_{d \to 0} \frac{f(x+d) - f(x)}{d} = \lim_{d \to 0} \frac{(x+d)^n - x^n}{d} = \lim_{d \to 0} \frac{x^n + nx^{n-1}d + (...)d^2 - x^n}{d} \\ = \lim_{d \to 0} \frac{nx^{n-1}d + (...)d^2}{d} = nx^{n-1} + \lim_{d \to 0} (...)d = nx^{n-1}[/tex]
der uttrykket i (...) er resten av (x+d)^n. Ved binomialkoeffisientutvidelsen er det en sum hvor alle leddene er delelig på d^2 (minst), som jeg valgte å trekke ut.
der uttrykket i (...) er resten av (x+d)^n. Ved binomialkoeffisientutvidelsen er det en sum hvor alle leddene er delelig på d^2 (minst), som jeg valgte å trekke ut.