Flateintegral

[thunderstone]

Regn ut flateintegralet [tex]\iint_S f(x,y,z) dS[/tex] der [tex]S[/tex] er gitt ved parametriseringen [tex]r=r(u,v) for (u,v) \in D[/tex]

[tex]r(u,v)=[u+v,u-v,u^2+v^2], D={(u,v) \in R^2| u^2+v^2 \leq 1 } , f(x,y,z)=x^2[/tex]

[arildno]

Har du gjort noe som helst på egen hånd, eller forventer du å få alt servert på sølvfat i livet ditt?

[TurboN]

ved parametrisering gjelder :
F(x,y,z)=F(f(u,v),g(u,v),h(u,v))

så f(x,y,z)=F(f(u,v))=(u+v)^2

deriver r med hensyn på u og v, kryss disse to vektorene, ta absolutt verdien av resultatet,

ds=kryssingen*du*dv

så integrener du f(u,v)=(u+v)^2 mhp ds over hele R

[thunderstone]

Takk skal du ha TurboN..skjønner tegningen..

[thunderstone]

Etter å ha fulgt prosedyren din TurboN, finner jeg kryssproduktet:
[tex]N=[2u+2v,2u-2v,-2][/tex]
Finner absoluttverdien:
[tex]|r_u\times r_v|= \sqrt{8u^2+8v^2+4}[/tex]

[tex]dS= \iint \sqrt{8u^2+8v^2+4}(u+v)^2 dudv[/tex]

Skal jeg innføre polarkoordinater her eller??
Hvordan er lettest å regne ut et slikt integral, hvis det er riktig som jeg har gjort oven..

[TurboN]

Etter å ha fulgt prosedyren din TurboN, finner jeg kryssproduktet:
[tex]N=[2u+2v,2u-2v,-2][/tex]
Finner absoluttverdien:
[tex]|r_u\times r_v|= \sqrt{8u^2+8v^2+4}[/tex]

[tex]dS= \iint \sqrt{8u^2+8v^2+4}(u+v)^2 dudv[/tex]

Skal jeg innføre polarkoordinater her eller??
Hvordan er lettest å regne ut et slikt integral, hvis det er riktig som jeg har gjort oven..

[tex]\iint_R\sqrt{8u^2+8v^2+4}(u+v)^2 dudv[/tex]

[tex]dS=|r_u\times r_v|dudv= \sqrt{8u^2+8v^2+4}dudv[/tex]

Så:

[tex]\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-v^2}}^{\sqrt{1-v^2}}\sqrt{8u^2+8v^2+4}(u+v)^2 dudv[/tex]

mener jeg det skulle bli