Ei lita funksjonsoppgave

[Janhaa]

Betrakt kurven f = x[sup]2[/sup] - og anta at f har en tangent i punktet (a, b). Vis ved regning at normalen til tangenten alltid krysser f i to ulike punkter for a [symbol:ikke_lik] 0.

[Magnus]

Symmetrisk om bunnpunktet og konveks!

[Janhaa]

Symmetrisk om bunnpunktet og konveks!

Stemmer vel som geometrisk betraktning, men jeg vil ha utregninga. Er litt vrang i dag. Forøvrig ikke noe hardhaus nøtt.

[sEirik]

$f(x)=x^2$

Vi vet at funksjonen har en tangent i $(a,a^2)$, med stigningstall 2a. Da er funksjonsuttrykket for tangenten

$y=2ax-a^2$

Normalen til y vil da ha stigningstall $-\frac{1}{2a}$. Normalen skal passere gjennom $(a,a^2)$, og da blir funksjonsuttrykket for normalen

$y=-\frac{1}{2a}x+a^2+\frac{1}{2}$

Denne vil passere f(x) i to punkter, som vi finner ved å løse likningen:

$-\frac{1}{2a}x+a^2+\frac{1}{2}=x^2$

$x^2+\left(\frac{1}{2a}\right)x-(a^2+\frac{1}{2})=0$

Diskriminanten til denne likningen blir

${\left(\frac{1}{2a}\right)}^2+4\cdot (a^2+\frac{1}{2})=\frac{1}{4x^2}+4x^2+2$

som opplagt er et positivt tall over hele R, altså må likningen ha to løsninger. Det betyr at normalen til tangenten skjærer grafen i to punkter.

[Janhaa]

Flink gutt, akkurat som jeg selv løste den.

[daofeishi]

Denne fortjener en oppfølger:

Bevis at dersom p(x) er et polynom av partallig grad med positiv ledekoeffisient (koeffisient til høyeste potens av x), og $p(x)-p^{\prime \prime }(x)\ge 0$ for alle reelle x, er $p(x)\ge 0$ for alle reelle x.