Kan noen hjelp meg med denne?
Finn y som en funksjon av x når:
y'-y=2
Takk på forhånd.
Differensiallikning
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]y^\prime - y = 2[/tex]
Vi multipliserer med [tex]e^{-x}[/tex] på begge sider
[tex](e^{-x}) \cdot y^\prime - (e^{-x}) \cdot y = 2e^{-x}[/tex]
[tex]-(e^{-x}) \cdot y + (e^{-x}) \cdot y^\prime = 2e^{-x}[/tex]
[tex](e^{-x})^\prime \cdot y + (e^{-x}) \cdot y^\prime = 2e^{-x}[/tex]
Vi gjenkjenner produktsetningen på venstresiden.
[tex]((e^{-x})\cdot y)^\prime = 2e^{-x}[/tex]
[tex](e^{-x}) \cdot y = -2e^{-x} + C[/tex]
Multipliserer med [tex]e^{x}[/tex] på begge sider.
[tex]y = -2 + C \cdot e^{x}[/tex]
Sånn
Vi multipliserer med [tex]e^{-x}[/tex] på begge sider
[tex](e^{-x}) \cdot y^\prime - (e^{-x}) \cdot y = 2e^{-x}[/tex]
[tex]-(e^{-x}) \cdot y + (e^{-x}) \cdot y^\prime = 2e^{-x}[/tex]
[tex](e^{-x})^\prime \cdot y + (e^{-x}) \cdot y^\prime = 2e^{-x}[/tex]
Vi gjenkjenner produktsetningen på venstresiden.
[tex]((e^{-x})\cdot y)^\prime = 2e^{-x}[/tex]
[tex](e^{-x}) \cdot y = -2e^{-x} + C[/tex]
Multipliserer med [tex]e^{x}[/tex] på begge sider.
[tex]y = -2 + C \cdot e^{x}[/tex]
Sånn
Last edited by sEirik on 02/04-2007 21:26, edited 2 times in total.
Fasit er korrekt.
Helt riktig fram til produktsetningen. Du må integrere begge sider, noe som gir deg:
[tex]e^{-x}y = -2e^{-x} + C[/tex]
Så er vi i mål med noen få trekk.
Helt riktig fram til produktsetningen. Du må integrere begge sider, noe som gir deg:
[tex]e^{-x}y = -2e^{-x} + C[/tex]
Så er vi i mål med noen få trekk.
Last edited by Magnus on 02/04-2007 21:18, edited 1 time in total.
Gjør denne oppgava jeg også, dels for å vise at de kan løses på forskjellige måter og for å friske opp selv (alt for mye går i glemmeboka).
[tex]y^,\,-\,y\,=\,2\;\;(*)[/tex]
setter [tex]\;y\,=\,u\cdot v\;\;(**)[/tex]
der[tex]\;\;y^,\,=\,u^,\cdot v\,+\,u\cdot v^,[/tex]
deretter:[tex]\;u^,\cdot v\,-\,u\cdot v\,=\,0\,[/tex]
[tex]\,\,\text {slik at}:\;u^,\,=\,u\;\;[/tex]
løser denne:[tex]\;{du\over dx}\,=\,u,\;\;{du\over u}\,=\,dx,\;\;\ln(u)\,=\,x,\,\,u\,=\,e^x[/tex]
Så har vi:[tex]\;\;u\cdot v^,\,=\,e^xv^,=\,2,\;\;\;v^,\,=\,2e^{-x}\,[/tex]
[tex]v\,=\,-2e^{-x}\,+\,C[/tex]
sett til slutt u og v inn i (**):
[tex]y\,=\,e^{x}\cdot (-2e^{-x}\,+\,C)\,=\, -2\,+\,Ce^x[/tex]
Ser at denne ikke fortoner seg særlig enklere...,men det var jo ikke meninga.
[tex]y^,\,-\,y\,=\,2\;\;(*)[/tex]
setter [tex]\;y\,=\,u\cdot v\;\;(**)[/tex]
der[tex]\;\;y^,\,=\,u^,\cdot v\,+\,u\cdot v^,[/tex]
deretter:[tex]\;u^,\cdot v\,-\,u\cdot v\,=\,0\,[/tex]
[tex]\,\,\text {slik at}:\;u^,\,=\,u\;\;[/tex]
løser denne:[tex]\;{du\over dx}\,=\,u,\;\;{du\over u}\,=\,dx,\;\;\ln(u)\,=\,x,\,\,u\,=\,e^x[/tex]
Så har vi:[tex]\;\;u\cdot v^,\,=\,e^xv^,=\,2,\;\;\;v^,\,=\,2e^{-x}\,[/tex]
[tex]v\,=\,-2e^{-x}\,+\,C[/tex]
sett til slutt u og v inn i (**):
[tex]y\,=\,e^{x}\cdot (-2e^{-x}\,+\,C)\,=\, -2\,+\,Ce^x[/tex]
Ser at denne ikke fortoner seg særlig enklere...,men det var jo ikke meninga.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Nå skal jeg ikke skrike så mye ut om det, men det var egentlig min første differensiallikning.Magnus wrote:Fasit er korrekt.
Helt riktig fram til produktsetningen. Du må integrere begge sider, noe som gir deg:
[tex]\frac {e^{-x}y^2}{2} = -2e^{-x} + C[/tex]
Så er vi i mål med noen få trekk.
Skjønte ikke helt den overgangen din der, lyst til å vise den en gang skikkelig til ære for meg?
Jeg kan betrygge deg med at det som stod der ikke bør gi mening for noen. Får bare beklage dette.sEirik wrote:Nå skal jeg ikke skrike så mye ut om det, men det var egentlig min første differensiallikning.Magnus wrote:Fasit er korrekt.
Helt riktig fram til produktsetningen. Du må integrere begge sider, noe som gir deg:
[tex]\frac {e^{-x}y^2}{2} = -2e^{-x} + C[/tex]
Så er vi i mål med noen få trekk.
Skjønte ikke helt den overgangen din der, lyst til å vise den en gang skikkelig til ære for meg?
Vel, som nevnt har du regnet korrekt frem til produktsetningen. Istedenfor å derivere her integrerer du. Vi har at:
[tex](e^{-x}\cdot y)^\prime = 2e^{-x}[/tex]
"Ganger" med dx på begge sider og integrerer:
[tex]\int (e^{-x}\cdot y)^\prime {\rm{d}}x = 2\cdot \int e^{-x} {\rm d}x[/tex]
Hvilket gir oss:
[tex]e^{-x}\cdot y = -2e^{-x} + C[/tex]
[tex]y = -2 + e^x \cdot C[/tex]