Grenser

[thunderstone]

Skal integrere $f(x,y)=x^2+y^2$ over trekanten med hjørner i $(0,0),(1,0)og(0,1)$

Da setter jeg opp:
${\int }_0^1$${\int }_0^1$$(x^2+y^2)dxdy=2/3$

Men fasit får 1/6
lurer på om det er grensene jeg har klusset med..

[Solar Plexsus]

Du har beregnet dobbeltintegralet over kvadratet med hjørner (0,0), (0,1), (1,0) og (1,1). Trekanten med hjørner i (0,0), (0,1) og (1,0) er avgrenset av linjene x=0, y = 0 og x + y = 1. Dermed blir dobbeltintegralet

${\int }_0^1{\int }_0^{1-x}{x}^2+y^{2}dxdy$

[thunderstone]

OK,takk!
Skjønte den..
Men hvis jeg har sammen oppgave, men nå er det et kvadrat med hjørner i $(0,0),(-2,2),(0,4)og(2,2).$

Vil ikke dette kvadratet være avgrenset av :
y=4-x
y=4+x
y=x
y=-x
Men dette kan vel ikke være riktig?

[mrcreosote]

Når man skal beregne integraler over områder, kan det noen ganger være lurt å dele opp området i flere deler og integrere hver av disse for seg. Dessuten er både funksjonen din og området symmetrisk om y-aksen, så du kan forenkle ytterligere ved å beregne det dobbelte av integralet over den delen av området som ligger i første kvadrant.

[fish]

Den siste oppgaven løses kanskje mest elegant ved å innføre nye variable
$u=y-x$ og $v=y+x$, for da får vi området beskrevet ved et kvadrat i $(u,v)$-planet:

$0\le u\le 4$ og $0\le v\le 4$.

Men dette forutsetter også kjennskap til Jakobi-determinanten som kommer inn i forbindelse med variabelskiftet.