Hei, trenger hjelp til denne:
Funksjonen er [tex]f(x) = (ln x)^3 - 3 lnx[/tex]
Finn de eksakte koordinatene til toppunktet og bunnpunktet
Trenger svar fort[/tex]
Tooppunkt og bunnpunkt
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
[tex]f(x)=(lnx)^3-3lnx[/tex]
Her må vi derivere funksjonen
[tex]f\prime(x)=((lnx)^3)\prime-(3lnx)\prime[/tex]
[tex] =3lnx \cdot (lnx)\prime - 3\cdot (lnx)\prime[/tex]
[tex]= 3lnx \cdot \frac1x - 3\cdot \frac 1x[/tex]
[tex]= \frac{3 lnx}{x}- \frac 3x = \frac{3 lnx - 3}{x}[/tex]
Så må vi sette den deriverte lik null, og deretter løse likningen
[tex]f\prime(x)=0 \Rightarrow 3ln x -3 =0[/tex]
(Vi vet at for at uttrykket skal bli null, må nevneren være null)
[tex]3ln x= 3 \Rightarrow lnx=1 \Rightarrow x=e[/tex]
Andrekoordinaten er [tex]f(e)=(ln e)^3-3lne= 1^3-3\cdot 1=-2[/tex]
Bunnpunktet har koordinatene (e,-2)
Her må vi derivere funksjonen
[tex]f\prime(x)=((lnx)^3)\prime-(3lnx)\prime[/tex]
[tex] =3lnx \cdot (lnx)\prime - 3\cdot (lnx)\prime[/tex]
[tex]= 3lnx \cdot \frac1x - 3\cdot \frac 1x[/tex]
[tex]= \frac{3 lnx}{x}- \frac 3x = \frac{3 lnx - 3}{x}[/tex]
Så må vi sette den deriverte lik null, og deretter løse likningen
[tex]f\prime(x)=0 \Rightarrow 3ln x -3 =0[/tex]
(Vi vet at for at uttrykket skal bli null, må nevneren være null)
[tex]3ln x= 3 \Rightarrow lnx=1 \Rightarrow x=e[/tex]
Andrekoordinaten er [tex]f(e)=(ln e)^3-3lne= 1^3-3\cdot 1=-2[/tex]
Bunnpunktet har koordinatene (e,-2)
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
En liten slurv gjør at at vi ikke finner toppunktet:
[tex]f^\prime(x) = \frac3x[(\ln x)^2-1][/tex].
Vi finner kandidater til ekstremalverdipunkter, som Mari har regna, der den deriverte er null. Her får vi 3/x=0 som ikke har noen løsning på (0,inf) (der logaritmen er definert) eller [tex](\ln x)^2-1=0 \Rightarrow \ln x = \pm1 \Rightarrow x=e^{\pm 1}[/tex]. Deretter må man sjekke om kandidatene faktisk er max/min-punkter, for eksempel ved å tegne fortegnsskjema.
[tex]f^\prime(x) = \frac3x[(\ln x)^2-1][/tex].
Vi finner kandidater til ekstremalverdipunkter, som Mari har regna, der den deriverte er null. Her får vi 3/x=0 som ikke har noen løsning på (0,inf) (der logaritmen er definert) eller [tex](\ln x)^2-1=0 \Rightarrow \ln x = \pm1 \Rightarrow x=e^{\pm 1}[/tex]. Deretter må man sjekke om kandidatene faktisk er max/min-punkter, for eksempel ved å tegne fortegnsskjema.
