Rekker

[zell]

Oppgave:

I en konvergent geometrisk rekke med positive ledd er summen av det første og det tredje leddet lik produktet av de to første leddene.

Finn ved regning eksakte verdier for rekkens kvotient k og rekkens første ledd a1, når rekkens sum skal være så liten som mulig.

Hvordan går jeg frem på denne oppgaven?

[sEirik]

[tex]a_1 + a_3 = a_1 \cdot a_2[/tex]

[tex]a_3 = a_1 \cdot a_2 - a_1 = a_1(a_2-1)[/tex]

[tex]k^2 = \frac{a_3}{a_1} = a_2-1[/tex]

[tex]a_2 = k^2 + 1[/tex]

[tex]k = \sqrt{a_2-1}[/tex]

[tex]a_1 = \frac{a_2}{k} = \frac{k^2 + 1}{k}[/tex]

[tex]S = \frac{a_1}{1-k}[/tex]

[tex]S = \frac{\frac{a_2}{k}}{1-k}[/tex]

[tex]S(k) = \frac{k^2 + 1}{k(1-k)} = \frac{k^2 + 1}{k-k^2}[/tex]

Så finner du bunnpunktet til funksjonen, gjerne ved å derivere, jeg tok det grafisk og fikk bunnpunkt i noe som jeg antar er lik [tex]k = \sqrt{2}-1[/tex].

Med det kan du finne a2 og a1 selv.

[mrcreosote]

Litt raskere:
[tex]a_1+a_3=a_1a_2,\, a_2=ka_1,\, a_3=k^2a_1 \\ a_1+k^2a_1=a_1ka_1 \\ a_1(1+k^2)=ka_1^2[/tex]

Vi antar positiv betyr strengt positiv så a_1>0 og deler med a_1:

[tex]a_1=\frac{1+k^2}k[/tex]

Herfra som før.

[zell]

Takk for hjelpa så langt, null problem å løse grafisk. Men sliter litt mer når jeg skal gjøre det ved regning.

Deriverer utrykket, ender opp med:

[tex]S^,(k) = \frac{-k^3 + k^2 + k - 1}{(k-k^2)^2}[/tex]

Finner nullpunktene til tredjegradsutrykket: [tex]k = 1 \ og \ k = -1[/tex]

Hvordan faktoriserer jeg da tredjegradsutrykket?

Håper på hjelp, vil gjerne forstå dette :p

[mrcreosote]

Det har nok bare gått litt fort når du har derivert, den deriverte skal bli [tex]\frac{k^2+2k-1}{k^2(k-1)^2}[/tex] som du neppe har noen problemer med å finne nullpunkter til.

(Men hvis du en annen gang skal faktorisere et 3.-gradspolynom du kjenner to røtter av, kan du bruke polynomdivisjon.)