Hei.
Bruk Stokes teorem til å finne arbeidet [tex]\int_C FT ds[/tex]
[tex]C[/tex] er snittet mellom parabloiden [tex]z=4x^2+9y^2[/tex] og planet [tex]8x-6y-z+4=0[/tex], orientert mot klokken sett ovenfor, og [tex]F(x,y,z)=[y,z^2,2yz+x-y][/tex]
Først finner jeg curlen til være:
[tex]curlF=[-1,-1,-1][/tex]
[tex]\int_C FT ds[/tex]=[tex]\iint_S curlF*n ds[/tex]
Sliter litt med å finne denne skjæringskurven(randen) mellom parabloiden og planet..
på forhånd takk:)
Stokes teorem
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hvis du setter [tex]z=z[/tex], fremkommer likningen
[tex]4x^2+9y^2=8x-6y+4[/tex], som også kan skrives
[tex]4(x-1)^2+9\left(y+\frac{1}{3}\right)^2=9[/tex]
Dividerer vi med 9 på hver side, får vi
[tex]\frac{\left(x-1\right)^2}{\left(\frac{3}{2}\right)^2}+\left(y+\frac{1}{3}\right)^2=1[/tex]
Denne ellipsen har areal
[tex]A=\pi a b[/tex], der [tex]a=\frac{3}{2}[/tex] og [tex]b=1[/tex] er halvaksene i ellipsen.
Siden curlen er konstant og normalvektoren til den enkleste flaten S (som ligger i planet) som skjæringskurven omgir, også er konstant, får man å integrere en konstant funksjon over ellipsen. Resultatet blir en konstant ganget med ellipsens areal.
[tex]4x^2+9y^2=8x-6y+4[/tex], som også kan skrives
[tex]4(x-1)^2+9\left(y+\frac{1}{3}\right)^2=9[/tex]
Dividerer vi med 9 på hver side, får vi
[tex]\frac{\left(x-1\right)^2}{\left(\frac{3}{2}\right)^2}+\left(y+\frac{1}{3}\right)^2=1[/tex]
Denne ellipsen har areal
[tex]A=\pi a b[/tex], der [tex]a=\frac{3}{2}[/tex] og [tex]b=1[/tex] er halvaksene i ellipsen.
Siden curlen er konstant og normalvektoren til den enkleste flaten S (som ligger i planet) som skjæringskurven omgir, også er konstant, får man å integrere en konstant funksjon over ellipsen. Resultatet blir en konstant ganget med ellipsens areal.
-
thunderstone
- Cayley
- Posts: 54
- Joined: 01/12-2006 13:58
Takk skal du ha!:)
Det skjønte jeg...
Men har en til jeg sitter fast på.
Bruk Stokes teorem til å beregne [tex]\iint_S (curl F)*n dS[/tex]
[tex]S[/tex] er den delen av parabloiden [tex]z=4-x^2-y^2[/tex] som ligger i området [tex]z \geq 0[/tex], enhetsormalen [tex]n[/tex] er oppadrettet. og [tex]F(x,y,z)=[ze^{xy},e^y(sinz),e^{\sqrt x}][/tex]
Finner først:
[tex]curl F=[-e^y(cosz),e^{xy}-\frac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x},-zxe^{xy}][/tex]
Når det står at [tex]n[/tex] er oppadrettet, vil det si at [tex]n=[0,0,1][/tex]??
Da får jeg videre at:
[tex]curl F*n=-zxe^{xy}[/tex]
Men etter det stopper det opp
Det skjønte jeg...
Men har en til jeg sitter fast på.
Bruk Stokes teorem til å beregne [tex]\iint_S (curl F)*n dS[/tex]
[tex]S[/tex] er den delen av parabloiden [tex]z=4-x^2-y^2[/tex] som ligger i området [tex]z \geq 0[/tex], enhetsormalen [tex]n[/tex] er oppadrettet. og [tex]F(x,y,z)=[ze^{xy},e^y(sinz),e^{\sqrt x}][/tex]
Finner først:
[tex]curl F=[-e^y(cosz),e^{xy}-\frac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x},-zxe^{xy}][/tex]
Når det står at [tex]n[/tex] er oppadrettet, vil det si at [tex]n=[0,0,1][/tex]??
Da får jeg videre at:
[tex]curl F*n=-zxe^{xy}[/tex]
Men etter det stopper det opp
At [tex]\vec{n}[/tex] er oppadrettet betyr ikke nødvendigvis at den er rettet rett oppover. Det er nok at den har positiv z-komponent.
Så til ditt problem. Når oppgaven står som den gjør, er det slik at du skal bruke Stokes' teorem til å beregne et linjeintegral istedet for det som står oppgitt.
Kurven C som begrenser flaten [tex]S[/tex] er jo ganske enkel i dette tilfellet, nemlig sirkelen i [tex](x,y)[/tex]-planet med sentrum i origo og radius lik 2. Parametriser C og beregn
[tex]\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}[/tex]
Så vidt jeg kan se blir skalarproduktet av vektorene i integranden lik null, slik at resultatet også blir lik null.
Så til ditt problem. Når oppgaven står som den gjør, er det slik at du skal bruke Stokes' teorem til å beregne et linjeintegral istedet for det som står oppgitt.
Kurven C som begrenser flaten [tex]S[/tex] er jo ganske enkel i dette tilfellet, nemlig sirkelen i [tex](x,y)[/tex]-planet med sentrum i origo og radius lik 2. Parametriser C og beregn
[tex]\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}[/tex]
Så vidt jeg kan se blir skalarproduktet av vektorene i integranden lik null, slik at resultatet også blir lik null.