Bevise cosinussetningen ?

[Holmkaran]

Kan noen hjelpe meg ?

BA

[fbhdif]

Jada, det er ikke så ille:)

Hvis du har en trekant ABC , og du kjenner vinklen u mellom side b og c.

Hvis du lager en normal fra c ned på grunnlinja b får du to rettvinklede trekanter delt av høyden h.

Så kaller du den siden som går fra vinklen u til h for x.

da har vi at side a^2 = h^2 + (b-x)^2
og at h^2 = -x^2 + c^2.
Vi brukte pytagoras' setning for å finne dette.

så finner vi et uttrykk for x :

cos u= x/c
x=cos u * c

Rydder vi litt opp i likningen har vi a^2 = h^2 + b^2 -2bx +x^2

Så fyller vi inn uttrykket for h^2: (-x^2 +c^2) + b^2 -2bx +x^2

Fyller inn uttrykket for x:

a^2= b^2 +c^2 -2b(cos u*c)
a^2=b^2+c^2-2bc*cosu

Edit:

Lagde det litt mer oversiktlig, og med hjelpetegninger:



Edit :Skrivefeil

[daofeishi]

Jeg synes vektorer gjør seg bedre til dette.

Jeg viser til følgende diagram:



$|\overrightarrow{c}{|}^2=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$

Fra dette følger direkte:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

[fbhdif]

Den var ikke dum!

[Magnus]

Vel Daofeishi. Det der innebærer at du vet hvordan man beviser prikkproduktet uten bruk av cosinussetningen da. Mest kjente beviset kjører jo hardt på cosinussetningen.

[daofeishi]

Et bevis uten bruk av cosinussetningen finner du her. Det finnes mange beviser for det den geometriske tolkningen av prikkproduktet, og jeg har til gode å se et som involverer cosinussetningen - har du lyst å dele det beviset?

[Magnus]

http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

Jaja, selvfølgelig. Poenget er bare at i 2MX (hvertfall min bok) bevises prikkproduktet med bruk av cosinussetningen. Men, selvfølgelig. Ditt bevis er selvfølgelig helt konsistent.

[sEirik]

Et bevis uten bruk av cosinussetningen finner du her. Det finnes mange beviser for det den geometriske tolkningen av prikkproduktet, og jeg har til gode å se et som involverer cosinussetningen - har du lyst å dele det beviset?

Problemet er at (i hvert fall i 2MX-boka vår) bruker beviset for (1) $cos(u\pm v)=\cos (u)\cos (v)\mp \sin (u)\sin (v)$ at man kjenner formelen for prikkprodukt. Og da er vi like langt...
Med mindre noen klarer å bevise (1) uten vektorer?

[daofeishi]

Et bevis uten bruk av cosinussetningen finner du her. Det finnes mange beviser for det den geometriske tolkningen av prikkproduktet, og jeg har til gode å se et som involverer cosinussetningen - har du lyst å dele det beviset?

Problemet er at (i hvert fall i 2MX-boka vår) bruker beviset for (1) $cos(u\pm v)=\cos (u)\cos (v)\mp \sin (u)\sin (v)$ at man kjenner formelen for prikkprodukt. Og da er vi like langt...
Med mindre noen klarer å bevise (1) uten vektorer?

$\text{Extra left or missing right}$

Og Eulers identitet kan vi igjen finne fra taylorekspansjonen... osv... osv...

[Magnus]

http://realisten.com/artikkel.php?id=216

[sEirik]

Takk, har akkurat blitt ferdig med kapittelet om komplekse tall i Kalkulus

[Holmkaran]

Kan noen hjelpe meg ?

BA

Tusen takk for raskt svar på ensøndag formiddag.

[Herr Brun]

Jeg synes vektorer gjør seg bedre til dette.

Jeg viser til følgende diagram:



$|\overrightarrow{c}{|}^2=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$

Fra dette følger direkte:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Hvordan følger dette direkte? Kan du forklare?

[Janhaa]

Dette følger direkte fra skalarproduktet mellom to vektorer;

$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=|\overrightarrow{A}|\cdot |\overrightarrow{B}|\cdot \cos (\alpha )$

der$\alpha$er vinkelen mellom vektorene.

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{a}|\cdot \cos (0)=|\overrightarrow{a}{|}^2$

$2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos (\alpha )$

dette forutsetter at du har kjennskap til skalarproduktet.