CurlF*n

[maximus_10]

Hei..
Snart eksamen, så jeg kunne trengt noe hjelp her:)

Skal bruke Stokes teorem til å beregne ${\iint }_S(curlF)\ast n$, der S er den delen av sylinderen x^2+z^2=1 , der 1<=y<=2, n peker ut fra sylinderen, og $F=[x^{2}yz,\sqrt{y},2z]$

Finner curlF=$[0,x^{2}y,-x^{2}z]$

Men så skal jeg finne denne enhetsnormalen..er helt blank her. Kan noen forklare hvordan man finner den, og videre på opgaven?
På forhånd tusen takk;)

[fish]

Hvis du skal bruke Stokes' teorem til å beregne dette flateintegralet, må det bety at du skal beregne linjeintegralet
${\int }_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}$
der $C$ er randkurven. I ditt tilfelle blir det litt mer komplisert mht randkurven, men konklusjonen er at man bare trenger å beregne linjeintegralet over de to randsirklene. Linjeintegralet langs selve sylinderen (en oppdeling man må lage seg for å komme "rundt" selve sylinderen) vil kansellere siden man går den samme veien to ganger, bare i motsatt retning. Det er kanskje lettere å tenke seg sylinderen skåret opp og brettet ut til et rektangel for å se dette!

[maximus_10]

Takk skal du ha for en god forklaring!
Men kan u forklare meg litt om denn enhetsnormalen?
Har litt problemer med å finne den her, og på andre oppg.

PÅ forhånd takk:)

[fish]

En enhetsnormal vil i ditt tilfelle bli

$\overrightarrow{n}=[x,0,z]$, der $x^2+z^2=1$. Dette kan sees geometrisk!

Generelt vil en flate på formen $f(x,y,z)=0$ ha $\mathrm{\nabla }f$som normalvektor. Her finner vi $\mathrm{\nabla }(z^2+z^2-1)=[2x,0,2z]$
som jo er parallell med $[x,0,z]$.

[maximus_10]

Hei.
Vektorfeltet $F=[x^{3}z,y^{3}z,x^2+y^2]$

Halvkulen er gitt ved: $x^2+y^2+z^2<=1$ og z>=0
Skal bestemme ${\iint }_{bunn}F\ast ndS$
La S være overflaten til halvulen, der n er utadrettet enhetsnormal til S

Bunnen antar jeg er sirkelen x^2+y^2=1 i xy-planet. Her vil vel også z=0..altså:
${\iint }_{bunn}F\ast ndS=F(x,y,0)\ast n$
Tenker jeg riktig så langt??
Men så er det at hvis jeg bruker n=[0,0,1] så får jeg feil, men hvis jeg bruker n=[0,0,-1], så får jeg riktig, altså ikke k, men -k..
Hvorfor må jeg bruke -k, for å få riktig??

[Magnus]

Du vil vel gjerne bruke normalvektoren UT av flaten. Ser greit ut.

[TurboN]

Du vil vel gjerne bruke normalvektoren UT av flaten. Ser greit ut.

I stokes teorem vil du helst ha en n slik at når du legger høyre-tommelen langs n og griper så skal du gripe mot klokka, har ingen ting med ut/inn av flate som ved flux

[fish]

Antar at Magnus mente "ut av legemet". Da blir retningen $-\overrightarrow{k}$. Hvis du legger tommelen i negativ $z$-retning, vil griperetningen være med klokka (sett ovenfra). Det er helt uproblematisk.

[TurboN]

Tja, man må jo alltids ha en n som tilfredstiller at curlen blir mot klokka mhp n på S, hvis ikke må man jo snu curl F og krysse F med gradient operatoren

[fish]

Dette har ingenting med curl F å gjøre. Det har med orientering av selve flaten å gjøre, uavhengig av vektorfeltet F.

[TurboN]

Det jeg sier jo, dette gjelder ved stokes teorem. n må tilfredsstille høyrehåndskravet over s, hvis en da i stokes teorem bruker feil n kan man snu curl F og det vil da tilfredstille kravet over s

[fish]

Javel, du vil altså endre fortegnet på på curl F i de tilfellene der randkurvens korrekte/oppgitte orientering mot urviseren (sett ovenfra), er det slik å forstå?
I såfall er jo dette lovlig. Men hva er vitsen?

[Magnus]

Ja. Hva er problemet her egentlig? Er jo en enkel geometrisk betrakning som gir -k..