Hei, hvordan løser man denne oppgaven her?
[tex]f(x) = \sin{2x}[/tex] Finn nullpunkt, toppunkt og bunnpunkt. Jeg er interessert i utfyllende løsninger.
EDIT: Hm, jeg fant en metode som jeg synes virker god nok til å føre for nullpunkt:
[tex]\sin{2x} = 0[/tex]
[tex]2x = \pi[/tex]
[tex]x = \frac{\pi}{2}[/tex]
Vil dere si dette er godt nok?
En annen ting: Når funksjonen er gitt [tex]x \in [0, 2 \pi][/tex] Vil da det være normalt å gi [tex]x [/tex] disse tre verdiene: [tex]0[/tex], [tex]\pi[/tex] og [tex]2 \pi[/tex]
Eller bare [tex]\pi[/tex]
Når likningen er [tex]\sin{x} = 0[/tex]
Trigonometriske funksjoner - Sinusfunksjonen 3mx
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det holder nok ikke helt.
Likninga sin x = 0 har løsning x = k*pi for en heltallig k. Dermed får du [tex]\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = k\cdot\pi \Rightarrow x = \frac{k\cdot\pi}2[/tex], altså [tex]x = \dots,-\pi,-\frac\pi2,0,\frac\pi2,\pi\dots[/tex]
Topp- og bunnpunkter finner du der den deriverte er null, altså 2cos 2x = 0. Gruble litt mer på dette i lys av det du har lest over.
Den andre tingen: Det korrekte er at sin x = 0 for x i intervallet [0,2pi] har 3 løsninger: 0, pi, 2pi.
Likninga sin x = 0 har løsning x = k*pi for en heltallig k. Dermed får du [tex]\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = k\cdot\pi \Rightarrow x = \frac{k\cdot\pi}2[/tex], altså [tex]x = \dots,-\pi,-\frac\pi2,0,\frac\pi2,\pi\dots[/tex]
Topp- og bunnpunkter finner du der den deriverte er null, altså 2cos 2x = 0. Gruble litt mer på dette i lys av det du har lest over.
Den andre tingen: Det korrekte er at sin x = 0 for x i intervallet [0,2pi] har 3 løsninger: 0, pi, 2pi.
Okey, tusen takk.
Dette er i begynnelsen av et kapittel, og det har ikke tatt for seg derivasjon enda. Det står bare at man skal finne ut hvis [tex]\sin{k*x}[/tex] er -1, eller 1 for å finne topp eller bunnpunkt.
Problemet er egentlig ikke å fatte dette her, men heller hvordan man skal føre, og hvor mange svar man skal inkludere (og hvordan man får tak i dem(!))
Dette er i begynnelsen av et kapittel, og det har ikke tatt for seg derivasjon enda. Det står bare at man skal finne ut hvis [tex]\sin{k*x}[/tex] er -1, eller 1 for å finne topp eller bunnpunkt.
Problemet er egentlig ikke å fatte dette her, men heller hvordan man skal føre, og hvor mange svar man skal inkludere (og hvordan man får tak i dem(!))
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Generelt kan du føre omtrent sånn:
[tex]\sin (ax+b) = c \\ ax+b = \arcsin c + 2k\pi \ \vee\ ax+b = \pi-\arcsin c + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \\ x = \frac1a(\arcsin c - b + 2k\pi) \ \vee\ x = \frac1a(\pi-\arcsin c - b + 2k\pi),\ k\in\mathbb Z[/tex]
Deretter finner du de verdier av k som gjør at løsningene dine havner innafor intervallet du bryr deg om.
[tex]\sin (ax+b) = c \\ ax+b = \arcsin c + 2k\pi \ \vee\ ax+b = \pi-\arcsin c + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \\ x = \frac1a(\arcsin c - b + 2k\pi) \ \vee\ x = \frac1a(\pi-\arcsin c - b + 2k\pi),\ k\in\mathbb Z[/tex]
Deretter finner du de verdier av k som gjør at løsningene dine havner innafor intervallet du bryr deg om.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det høres feil ut rett og slett. Du er sikker på at du ikke bare ser på et spesialtilfelle? Dette er den generelle løsninga på ei slik ligning.
Hvis du er kjent med grafen til sinusfunksjonen, kan du prøve å tegne og skjønne hvorfor det er som det er. Prøv for eksempel å finne nullpunktene til [tex]\sin(2x+\frac\pi4) = \frac12,\ x\in[0,2\pi)[/tex] grafisk og sammenhold det med løsning du får fra den generelle løsninga.
Hvis du er kjent med grafen til sinusfunksjonen, kan du prøve å tegne og skjønne hvorfor det er som det er. Prøv for eksempel å finne nullpunktene til [tex]\sin(2x+\frac\pi4) = \frac12,\ x\in[0,2\pi)[/tex] grafisk og sammenhold det med løsning du får fra den generelle løsninga.
Det skal jeg gjøre, må bare få tilbake kalkulatoren min, låner den til en venn. Hvis det er et spesialtilfelle vet jeg ikke, men de beskriver det slik:
Sinus er -1 når vinkelen er [tex]\frac{3 \pi}{2} + n \cdot 2\pi[/tex]
Jeg går ut ifra at dette er riktig fordi arcsin blir [tex]\frac{\pi}{2}[/tex], og vil derfor bare ha ett absoluttvinkelmål for hver [tex]2\pi[/tex].
Har jeg riktig? Jeg tenker at hvis sinus for eksempel hadde vært 0.5. Så ville det vært to gyldige absolutte vinkelmål innenfor intervallet. Altså man måtte ha brukte begge formlene.
Sinus er -1 når vinkelen er [tex]\frac{3 \pi}{2} + n \cdot 2\pi[/tex]
Jeg går ut ifra at dette er riktig fordi arcsin blir [tex]\frac{\pi}{2}[/tex], og vil derfor bare ha ett absoluttvinkelmål for hver [tex]2\pi[/tex].
Har jeg riktig? Jeg tenker at hvis sinus for eksempel hadde vært 0.5. Så ville det vært to gyldige absolutte vinkelmål innenfor intervallet. Altså man måtte ha brukte begge formlene.
enhetssirkler tar likevel tid, og tar en del plass. Det er uansett ikke verdens undergangNår man skal finne nullpunktet langs en sinus funksjon som har en likevektslinje over x=0
Hvordan skal man gå fram da? man kan jo se det hvis man tegner grafen, som jeg har gjort, men er det en måte å regne seg til det? Man kan ikke bare putte inn et helt tall n i [tex]2n\pi [/tex]og plusse det på, fordi x-aksen ikke er likevektslinjen. Er det bare å lage en enhetssirkel her også?
edit: Etter litt tenking går jeg ut ifra det, et enkelt ja eller nei svar ville vært nok.
Forresten, er dette utsagnet riktig?: Når man har funnet de gyldige verdiene for for eksempel et nullpunkt i enhetssirkelen, så vil man finne alle de andre gyldige verdiene ved å plusse på [tex]2\pi[/tex]. Det har iallefall vært riktig for meg til nå.
Jeg er ikke sikker på om det gjelder for en sinusfunksjon med faseforskyvning enda. Det gjelder iallefall når man har en amplitude som ikke er 1 (som er normalt), likevektslinje som er 0 (som er normalt) og en periode som er [tex]2\pi[/tex] (som er normalt)
Hvordan skal man gå fram da? man kan jo se det hvis man tegner grafen, som jeg har gjort, men er det en måte å regne seg til det? Man kan ikke bare putte inn et helt tall n i [tex]2n\pi [/tex]og plusse det på, fordi x-aksen ikke er likevektslinjen. Er det bare å lage en enhetssirkel her også?
edit: Etter litt tenking går jeg ut ifra det, et enkelt ja eller nei svar ville vært nok.
Forresten, er dette utsagnet riktig?: Når man har funnet de gyldige verdiene for for eksempel et nullpunkt i enhetssirkelen, så vil man finne alle de andre gyldige verdiene ved å plusse på [tex]2\pi[/tex]. Det har iallefall vært riktig for meg til nå.
Jeg er ikke sikker på om det gjelder for en sinusfunksjon med faseforskyvning enda. Det gjelder iallefall når man har en amplitude som ikke er 1 (som er normalt), likevektslinje som er 0 (som er normalt) og en periode som er [tex]2\pi[/tex] (som er normalt)