Skal vise at integrering av gamma-sannsynlighetstettheten g(t) gir 1.
[tex]g(t) = \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}[/tex]
[tex]t\geq0 \text{, } \alpha>0 \text{, } \lambda>0[/tex]
(for t<0 er g(x) = 0)
Her er Gamma-funksjonen definert som
[tex]\displaystyle \Gamma(x)=\int_{0}^\infty u^{x-1}e^{-u}du \text{, }x>0[/tex]
Jeg tenkte først at jeg kunne bruke at
[tex]\frac{d}{dt}( \frac{e^{-\lambda t^\alpha}}{-\lambda} )=t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}[/tex]
men den likheten viser seg bare å være feil...
Noen gode ideer på hvordan jeg kan gå frem?
Integrere gamma til 1?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Du får
[tex]\int_0^\infty g(t) dt = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-\lambda t} dt[/tex]
Om du nå substituerer u=lt og bruker definisjonen din av gammafunksjonen er du straks der.
[tex]\int_0^\infty g(t) dt = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-\lambda t} dt[/tex]
Om du nå substituerer u=lt og bruker definisjonen din av gammafunksjonen er du straks der.
Det virker veldig rett måte å gå frem.. men jeg får ikke siste lambda til å forsvinne..?
[tex]\int_0^\infty g(t) dt = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-\lambda t} dt=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty (u/\lambda)^{\alpha-1}e^{-u} du[/tex]
[tex]=\frac{\lambda^\alpha}{\lambda^{\alpha-1}\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u} du= \frac{\lambda^\alpha \cancel{\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u} du}}{\lambda^{\alpha-1}\cancel{\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u} du}} = \lambda[/tex]
Hva har jeg ikke tatt hensyn til?
[tex]\int_0^\infty g(t) dt = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-\lambda t} dt=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty (u/\lambda)^{\alpha-1}e^{-u} du[/tex]
[tex]=\frac{\lambda^\alpha}{\lambda^{\alpha-1}\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u} du= \frac{\lambda^\alpha \cancel{\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u} du}}{\lambda^{\alpha-1}\cancel{\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u} du}} = \lambda[/tex]
Hva har jeg ikke tatt hensyn til?
genialt.. takk