Lenge siden sist vi integrerte...

[sEirik]

Tar $I_2$ uten trigonometrisk substitusjon jeg

2 min

$I=\int (x+x^3)\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x$

$I=\int -\frac{1}{2}\cdot (-2x)\cdot (2-(1-x^2))\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x$

$u=1-x^2$, $u^{\prime }=-2x$

$I=\int -\frac{1}{2}\cdot u^{\prime }\cdot (2-u)\cdot \sqrt{u}\mathrm{d}x$

$I=\int -\frac{1}{2}(2-u)\sqrt{u}\mathrm{d}u$

$I=-\frac{1}{2}(\int 2u^{1/2}\mathrm{d}u-\int u^{3/2}\mathrm{d}u)$

stopper der

[Janhaa]

Integralene stemmer - flinke gutter. Løste sjøl siste I[sub]2[/sub] som Eirik.

-------------------------------------------------------------------------------

Ok prøver meg på daofeishi sitt, dvs jeg løser det ubestemte først

$I=\int \frac{\cos (x)\mathrm{d}\mathrm{x}}{p\sin (x)+q\cos (x)}=\frac{1}{p^2+q^2}\int \frac{(q(p\sin (x)+q\cos (x))+p(p\cos (x)-q\sin (x)))\mathrm{d}\mathrm{x}}{p\sin (x)+q\cos (x)}$

setter u = psin(x) + qcos(x),
du = (pcos(x) - qsin(x)) dx

$I=\frac{1}{p^2+q^2}\cdot (\int q\mathrm{d}\mathrm{x}+p\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{u})$

$I=\frac{1}{p^2+q^2}(qx+p\ln |u|)=\frac{1}{p^2+q^2}(qx+p\ln |p\sin (x)+q\cos (x)|)+C$

når grensene settes inn fås

$I=\frac{1}{p^2+q^2}\cdot (\frac{\pi }{2}\cdot q+p\cdot \ln (\frac{p}{q}))$

[mrcreosote]

Den var smart, Janhaa! Jeg hadde tenkt å gå Weierstrasse, men det der var betraktelig penere.

[ingentingg]

Tar en som krever litt tenking hvis man ikke har sett den før

$I_3={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+sinx}dx}$

[Janhaa]

Kjører på med et av de integrala som forsvant (ikke for vanskelig dette):

$I_4=\int x\cdot \sin (\sin (\arccos (x)))\mathrm{d}\mathrm{x}$

[sEirik]

Tar en som krever litt tenking hvis man ikke har sett den før

$I_3={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+sinx}dx}$

Konjugasjon viser igjen sin styrke

[Janhaa]

Tar en som krever litt tenking hvis man ikke har sett den før
$I_3={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+sinx}dx}$

Med et hint, tar det ubestemte først:

[tex]I_3=\int \sqrt{1+\sin(x)} {\rm dx}=\int \frac{\sqrt{(1-\sin^2(x))}{\rm dx}}{\sqrt{(1-\sin(x))}[/tex]

[tex]I_3=\int \frac{\cos(x) {\rm dx}}{\sqrt{1-\sin(x)}[/tex]

u = 1 - sin(x)
-du = cos(x) dx

$I_3=-\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\sqrt{u}}=-2u^{\frac{1}{2}}=-2(1-\sin (x){)}^{\frac{1}{2}}+C$

det bestemte integralet:

$I_3=-2[\sqrt{1-\sin (x)}{]}_0^{\frac{\pi }{4}}=2-2\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}$

[ingentingg]

Det finnes en litt enklere måte.
$/sin2\cdot u=2\sin u\cos u$

+ enhetsformelen.

[Janhaa]

Siden ingen har løst $I_4=\int x\cdot \sin (\sin (\arccos (x)))\mathrm{d}\mathrm{x}$slenger jeg inn ett bidrag sjøl.

$I_4=\int x\cdot \sin (\arcsin (\sqrt{1-x^2})\mathrm{d}\mathrm{x}=\int x\cdot \sin (\sqrt{1-x^2})\mathrm{d}\mathrm{x}$

$u^2=1-x^2$

$I_4=-\int u\sin (u)\mathrm{d}\mathrm{u}=-u\cos (u)+\int \cos (u)\mathrm{d}\mathrm{u}=u\cos (u)-\sin (u)$

$I_4=\sqrt{1-x^2}\cos (\sqrt{1-x^2})-\sin (\sqrt{1-x^2})+C$